Номер 230, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

230 Проводится серия из 10 испытаний Бернулли. Каких элементарных событий больше: тех, в которых 3 успеха, или тех, в которых 7 успехов?

В серии из $n=10$ испытаний Бернулли каждое элементарное событие представляет собой уникальную последовательность из 10 исходов, где каждый исход может быть либо «успехом», либо «неудачей». Нам необходимо сравнить количество последовательностей, содержащих ровно 3 успеха, с количеством последовательностей, содержащих ровно 7 успехов.

Для определения числа таких последовательностей используется формула числа сочетаний, так как нам нужно выбрать $k$ позиций для «успехов» из $n$ возможных позиций без учёта порядка. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Количество элементарных событий, в которых 3 успеха

В этом случае общее число испытаний $n = 10$, а число успехов $k = 3$. Рассчитаем количество способов выбрать 3 позиции для успехов из 10:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} = \frac{720}{6} = 120$

Следовательно, существует 120 элементарных событий, в которых ровно 3 успеха.

Количество элементарных событий, в которых 7 успехов

В этом случае общее число испытаний $n = 10$, а число успехов $k = 7$. Рассчитаем количество способов выбрать 7 позиций для успехов из 10:

$C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$

Следовательно, существует 120 элементарных событий, в которых ровно 7 успехов.

Сравнивая полученные результаты ($120$ и $120$), мы видим, что они равны.

Этот результат также является следствием свойства симметрии биномиальных коэффициентов, согласно которому $C_n^k = C_n^{n-k}$. В нашем случае:

$C_{10}^3 = C_{10}^{10-3} = C_{10}^7$

Это означает, что количество способов выбрать 3 элемента для «успеха» из 10 равно количеству способов выбрать 7 элементов для «успеха» (что эквивалентно выбору 3 элементов для «неудачи»).

Ответ: Количество элементарных событий, в которых 3 успеха, и тех, в которых 7 успехов, одинаково.