Номер 228, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

228 Сколько элементарных событий в серии из 8 испытаний Бернулли благоприятствует:

а) 2 успехам;

б) 6 успехам;

в) 5 успехам;

г) 3 успехам?

Эта задача относится к комбинаторике и теории вероятностей, а именно к схеме испытаний Бернулли. Элементарное событие в серии из 8 испытаний — это последовательность из 8 исходов, где каждый исход — «успех» или «неудача». Количество элементарных событий, в которых содержится ровно $k$ успехов в серии из $n$ испытаний, определяется числом сочетаний из $n$ по $k$.

Формула для расчета числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число испытаний, а $k$ — число успехов.

В данном случае общее число испытаний $n = 8$.

а) 2 успехам

Чтобы найти количество элементарных событий, благоприятствующих 2 успехам, нужно рассчитать число сочетаний из 8 по 2.
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28$.
Следовательно, 2 успехам благоприятствуют 28 элементарных событий.
Ответ: 28.

б) 6 успехам

Для 6 успехов рассчитываем число сочетаний из 8 по 6.
$C_8^6 = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28$.
Можно также использовать свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$, откуда следует, что $C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2 = 28$.
Следовательно, 6 успехам благоприятствуют 28 элементарных событий.
Ответ: 28.

в) 5 успехам

Для 5 успехов рассчитываем число сочетаний из 8 по 5.
$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$.
Следовательно, 5 успехам благоприятствуют 56 элементарных событий.
Ответ: 56.

г) 3 успехам?

Для 3 успехов рассчитываем число сочетаний из 8 по 3.
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$.
Используя свойство сочетаний, видим, что $C_8^3 = C_8^{8-3} = C_8^5 = 56$.
Следовательно, 3 успехам благоприятствуют 56 элементарных событий.
Ответ: 56.