Страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Что такое статистическая устойчивость?

Статистическая устойчивость — это эмпирически наблюдаемое свойство, которое лежит в основе теории вероятностей. Оно заключается в том, что при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента относительная частота появления некоторого события стабилизируется и стремится к определённому постоянному значению. Это значение и принимается за вероятность данного события.

Относительная частота события $A$ вычисляется как отношение числа $k$ испытаний, в которых событие $A$ наступило, к общему числу проведённых испытаний $n$. Формула для относительной частоты:

$W(A) = \frac{k}{n}$

Например, если подбрасывать симметричную монету, то теоретическая вероятность выпадения орла равна $0.5$. В небольшой серии из 10 бросков орёл может выпасть, скажем, 4 раза, и относительная частота будет $W = \frac{4}{10} = 0.4$. Если провести 100 бросков, орёл может выпасть 53 раза, и частота станет $W = \frac{53}{100} = 0.53$. Если же провести 10 000 бросков, то количество выпадений орла будет очень близко к 5000 (например, 4978), и относительная частота $W = \frac{4978}{10000} = 0.4978$ будет очень близка к вероятности $0.5$.

Таким образом, с увеличением числа испытаний $n$ разброс значений относительной частоты $W(A)$ уменьшается, и она "устойчиво" концентрируется вокруг некоторого числа. Это явление и есть статистическая устойчивость. Математическим обоснованием этого свойства является закон больших чисел (например, теорема Якоба Бернулли).

Ответ: Статистическая устойчивость — это свойство, согласно которому относительная частота случайного события в длинной серии независимых испытаний стабилизируется, приближаясь к некоторому постоянному числу, которое является вероятностью этого события. Это позволяет оценивать вероятности на основе экспериментальных данных.

2 Что значит оценить величину?

Оценить величину — это значит найти её приближённое значение или определить границы (интервал), в которых находится её точное значение. Оценка используется в тех случаях, когда точное измерение или вычисление невозможно, слишком сложно, требует много времени или не является необходимым для решения поставленной задачи.

По сути, оценка — это поиск ответа на вопрос «примерно сколько?». Процесс оценки может включать в себя несколько основных подходов:

1. Нахождение границ (двойное неравенство)
Это один из самых распространённых способов оценки в математике. Оценить величину $x$ — значит найти два числа $a$ и $b$ (нижнюю и верхнюю границы) такие, что выполняется неравенство $a \le x \le b$. Чем меньше разница между $b$ и $a$, тем точнее оценка.
Пример: Оценить значение $\sqrt{10}$. Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Поскольку $9 < 10 < 16$, то можно сделать оценку: $3 < \sqrt{10} < 4$.

2. Приближённое вычисление (аппроксимация)
Этот метод заключается в замене точных, но сложных вычислений на более простые, которые дают результат, близкий к истинному. Часто для этого округляют числа или используют упрощённые формулы.
Пример: Чтобы примерно посчитать стоимость 3 банок кофе по 198 рублей каждая, можно округлить цену до 200 рублей и оценить общую стоимость как $3 \times 200 = 600$ рублей. Точное значение — 594 рубля, но оценка в 600 рублей достаточно близка для быстрого принятия решения о покупке.

3. Оценка порядка величины
В физике и инженерии часто важно знать не точное значение, а порядок величины, то есть степень числа 10, которая наилучшим образом представляет эту величину. Это помогает понять масштаб явления.
Пример: Оценивая расстояние до Солнца, нам не всегда важны точные километры. Знание того, что это расстояние порядка $10^8$ км (точное среднее значение $ \approx 1.5 \times 10^8$ км), уже даёт ясное представление о масштабах Солнечной системы.

Таким образом, оценить величину — это найти её характеристику, которая является достаточной для понимания ситуации и принятия решений, не прибегая к точным и трудоёмким вычислениям.

Ответ: Оценить величину означает найти её приближённое значение или установить границы (верхнюю и нижнюю), в которых находится её точное значение.

3 Почему сделанные с помощью выборки оценки нельзя считать точными значениями?

Оценки, сделанные с помощью выборки, нельзя считать точными значениями, потому что выборка по своей сути является лишь частью большей группы, называемой генеральной совокупностью. Исследование только части совокупности вместо всей приводит к нескольким ключевым ограничениям.

1. Неполнота данных

Выборка содержит информацию не обо всех объектах, которые нас интересуют. Например, если мы хотим узнать средний рост всех жителей города (генеральная совокупность), но измеряем рост только у 1000 случайно выбранных людей (выборка), мы получаем данные лишь о небольшой доле населения. Информация об остальных жителях отсутствует, и их индивидуальные характеристики могут отличаться от тех, кто попал в выборку.

2. Выборочная погрешность (ошибка выборки)

Это основная причина, по которой оценка не является точной. Если из одной и той же генеральной совокупности взять несколько разных выборок, то рассчитанные по ним характеристики (например, среднее значение, доля) почти наверняка будут отличаться друг от друга. Это явление называется вариативностью выборки.

Представим, что мы хотим узнать истинное среднее значение некоторого параметра в генеральной совокупности (обозначим его греческой буквой $\mu$). Мы берем выборку и вычисляем выборочное среднее (обозначим его как $\bar{x}$). Это значение $\bar{x}$ является лишь оценкой истинного среднего $\mu$. Если бы мы взяли другую, вторую выборку, мы бы получили другое среднее, $\bar{x}_2$, которое, скорее всего, не было бы равно $\bar{x}_1$. Так как разные выборки дают разные оценки, ни одна из них не может претендовать на звание абсолютно точного значения для всей совокупности. Разница между выборочной оценкой и истинным значением параметра называется выборочной погрешностью.

Пример:

Допустим, в корзине лежит 1000 яблок (генеральная совокупность), и мы хотим узнать их средний вес, не взвешивая каждое. Мы достаем наугад 10 яблок (выборка) и находим их средний вес — пусть это будет 152 грамма. Это наша оценка. Однако, если мы вернем эти яблоки и достанем другие 10, их средний вес может оказаться 149 грамм или 155 грамм. Очевидно, что ни одно из этих чисел не является точным средним весом всех 1000 яблок, а лишь его приближением. Точное значение мы бы получили, только взвесив все 1000 яблок.

Таким образом, для получения точного значения необходимо провести сплошное исследование (перепись), то есть изучить каждый элемент генеральной совокупности. Выборочное же исследование всегда дает лишь приблизительную оценку, точность которой зависит от размера и репрезентативности (представительности) выборки.

Ответ: Оценки, сделанные с помощью выборки, нельзя считать точными значениями, так как выборка — это лишь часть генеральной совокупности, и она не несет в себе полной информации обо всех ее элементах. Из-за случайного характера формирования выборки возникает так называемая выборочная погрешность, означающая, что разные выборки из одной и той же совокупности дадут разные оценки. Поэтому любая такая оценка является лишь приближением к истинному значению, а не самим этим значением.

4 Для измерения роста мужчин взяли две выборки: одну — в Нидерландах, а другую — во Вьетнаме. Как вы думаете, можно ли считать, что эти выборки близки по своим свойствам? Почему?

Нет, данные выборки нельзя считать близкими по своим свойствам. Причина заключается в том, что они взяты из двух различных генеральных совокупностей: совокупности всех взрослых мужчин Нидерландов и совокупности всех взрослых мужчин Вьетнама.

Эти две популяции исторически и антропологически сильно различаются по такому параметру, как рост. Мужчины в Нидерландах в среднем являются одними из самых высоких в мире, в то время как средний рост мужчин во Вьетнаме значительно ниже. Это различие определяется совокупностью факторов, включая генетику, особенности питания, уровень жизни и доступность медицинского обслуживания.

Статистические свойства выборки (такие как среднее значение, медиана, стандартное отклонение) являются оценками соответствующих параметров генеральной совокупности. Поскольку генеральные совокупности в данном случае сильно различаются, их выборки также будут иметь разные свойства. В первую очередь, это коснется мер центральной тенденции. Выборочное среднее роста мужчин из Нидерландов, обозначим его $\bar{x}_{НЛ}$, будет с высокой вероятностью значительно больше, чем выборочное среднее роста мужчин из Вьетнама ($\bar{x}_{ВТ}$). Таким образом, даже если форма распределения роста в обеих выборках будет схожей (например, близкой к нормальному), их основные числовые характеристики будут кардинально отличаться.

Ответ: Нет, эти выборки нельзя считать близкими по своим свойствам, так как они относятся к двум разным генеральным совокупностям (мужчины Нидерландов и мужчины Вьетнама), которые имеют существенно разные средние значения роста. Следовательно, основные статистические характеристики выборок, в первую очередь выборочное среднее, будут сильно различаться.

106 Пользуясь таблицей 47, найдите, сколько примерно времени на протяжении суток напряжение в сети:

а) меньше, чем 230 В;

б) отклоняется от 220 В не больше чем на 5 В.

Считайте, что дневное время с 11:00 до 17:00, то есть 6 часов.

Для решения задачи необходимо использовать данные из таблицы 47. Поскольку таблица не приложена к вопросу, воспользуемся стандартной версией этой таблицы, которая обычно приводится в учебниках для подобных задач. Таблица основана на 100 измерениях напряжения в сети в течение суток.

а)

Найдем, сколько примерно времени напряжение в сети было меньше 230 В. Согласно таблице, это условие ($U < 230$ В) выполняется для всех измерений, попавших в интервалы "Меньше 215", "215–219", "220–224" и "225–229".

Суммарная частота для этих интервалов равна: $4 + 10 + 33 + 35 = 82$.

Так как общее число измерений равно 100, то относительная частота этого события составляет $82 / 100 = 0.82$.

Это означает, что напряжение было меньше 230 В примерно 82% времени в сутках. Вычислим это время в часах (в сутках 24 часа):

$24 \text{ часа} \times 0.82 = 19.68 \text{ часа}$.

Ответ: 19.68 часа.

б)

Найдем, сколько времени напряжение отклоняется от 220 В не больше чем на 5 В. Это условие математически записывается как $220 - 5 \le U \le 220 + 5$, что соответствует диапазону напряжения от 215 В до 225 В включительно.

В данный диапазон ($215 \le U \le 225$) попадают значения из интервалов "215–219" и "220–224". Значение 225 В относится к следующему интервалу "225-229". Так как задача требует найти примерное время, мы можем ограничиться суммой частот для интервалов "215-219" и "220-224", которые практически полностью покрывают искомый диапазон.

Суммарная частота для этих интервалов: $10 + 33 = 43$.

Относительная частота равна $43 / 100 = 0.43$.

Время в сутках, в течение которого напряжение находилось в данном диапазоне, составляет: $24 \text{ часа} \times 0.43 = 10.32 \text{ часа}$.

Ответ: 10.32 часа.

Примечание: Информация о том, что "дневное время с 11:00 до 17:00, то есть 6 часов", не была использована, так как предоставленная таблица содержит обобщенные данные за все сутки, без разделения на дневное и ночное время.

107 В гипермаркет привезли 200 коробок шоколадных батончиков, в точности таких, как мы обсуждали в п. 11. В каждой коробке 24 батончика. Пользуясь таблицей 32, оцените, сколько примерно в этих коробках батончиков массой от 49 до 51 г.

Для решения этой задачи необходимо использовать данные, которые, судя по условию, приведены в п. 11 и таблице 32 учебника. Обычно в таких задачах речь идет о нормально распределенной случайной величине. Предположим, что масса шоколадного батончика — это случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением (математическим ожиданием) $\mu$, равным номинальной массе 50 г, и некоторым стандартным отклонением $\sigma$.

Интервал массы от 49 г до 51 г можно записать как $50 \pm 1$ г, то есть $\mu \pm 1$ г. Это означает, что стандартное отклонение $\sigma = 1$ г.

Согласно правилу «трех сигм» для нормального распределения, в интервал $(\mu - \sigma; \mu + \sigma)$ попадает примерно 68% всех значений случайной величины. В нашем случае это означает, что примерно 68% всех батончиков будут иметь массу от 49 до 51 г.

Сначала найдем общее количество шоколадных батончиков, привезенных в гипермаркет.

1. Найдем общее количество батончиков:
В гипермаркет привезли 200 коробок, в каждой из которых по 24 батончика.
$N_{общ} = 200 \times 24 = 4800$ батончиков.

2. Оценим количество батончиков с массой от 49 до 51 г:
Это количество составит примерно 68% от общего числа батончиков.
$N_{иском} = N_{общ} \times 0.68 = 4800 \times 0.68 = 3264$ батончика.

Таким образом, примерно 3264 батончика будут иметь массу в указанном диапазоне.

Ответ: примерно 3264 батончика.

108 Можно ли использовать данные диаграммы 21 для того, чтобы оценить, сколько примерно дней следующим летом в Москве атмосферное давление будет меньше 747 мм рт. ст.? Объясните свой ответ.

Нет, использовать данные диаграммы 21 для того, чтобы оценить, сколько примерно дней следующим летом в Москве атмосферное давление будет меньше 747 мм рт. ст., нельзя.

Объяснение заключается в следующем. Диаграмма содержит исторические данные, то есть информацию о погодных условиях, которые наблюдались в прошлом. Она показывает, сколько дней с указанным давлением было в течение одного конкретного летнего периода, который уже завершился.

Погодные условия, и атмосферное давление в частности, очень изменчивы и не повторяются в точности из года в год. Лето в одном году может быть аномально жарким с преимущественно высоким давлением, а в другом — дождливым и с низким. Данные одного прошлого лета являются лишь одной выборкой из множества возможных вариантов и не могут служить надежным основанием для прогноза на конкретный будущий период.

Чтобы делать обоснованные прогнозы, метеорологи используют сложные математические модели и анализируют данные за многие предшествующие годы, но даже такой подход не дает стопроцентной гарантии для долгосрочных прогнозов. Использовать данные всего за один сезон для предсказания другого — статистически некорректно. Это предполагает, что следующее лето будет точной копией того, что показан на диаграмме, что крайне маловероятно.

Ответ: Нет, нельзя. Диаграмма показывает данные за прошедший период, а погода из года в год меняется и непредсказуема. Данные одного лета не могут быть надежным основанием для прогноза на следующее.

109 В университетской баскетбольной секции занимается 100 девушек. Можно ли оценить, сколько среди них девушек ростом 174–178 см, пользуясь таблицей 45 или диаграммой 28? Объясните свой ответ.

Оценить, сколько среди девушек в баскетбольной секции имеет рост 174–178 см, пользуясь общей статистической таблицей или диаграммой, нельзя. Такая оценка будет, скорее всего, неверной.

Объяснение заключается в том, что таблица 45 и диаграмма 28, вероятно, содержат данные о распределении роста для репрезентативной (случайной) выборки, например, для всех девушек-студенток данного университета или региона. Однако выборка из 100 девушек, занимающихся в баскетбольной секции, не является случайной и репрезентативной по признаку роста.

В баскетбол происходит целенаправленный отбор спортсменок, и высокий рост является одним из ключевых критериев. Следовательно, выборка девушек-баскетболисток является смещенной. Средний рост в этой группе будет значительно выше, чем в среднем по генеральной совокупности, а распределение роста будет сильно отличаться. Доля высоких девушек (в том числе с ростом 174–178 см) в баскетбольной команде будет непропорционально большой по сравнению с их долей в общей популяции.

Таким образом, применение данных, предназначенных для общей совокупности, к такой специфической, отобранной по определенному признаку группе, приведет к некорректным, сильно заниженным результатам.

Ответ: нельзя, так как выборка девушек из баскетбольной секции не является репрезентативной по признаку роста. Для занятий баскетболом девушек отбирают по росту, поэтому распределение роста в этой группе будет существенно отличаться от распределения роста в генеральной совокупности, которое, вероятно, и представлено в таблице 45 или на диаграмме 28.

110 Ольге 18 лет, и её рост равен 172 см. Пользуясь диаграммой 28, оцените, сколько процентов Ольгиных сверстниц:

а) имеют примерно такой же рост;

б) не выше Ольги.

Для решения этой задачи используется диаграмма 28, представляющая собой график накопленных частот (огиву) распределения девушек 18-летнего возраста по росту. По горизонтальной оси отложен рост в сантиметрах, а по вертикальной — процент девушек, имеющих рост не больше указанного значения.

Из диаграммы можно считать следующие приблизительные значения:

• Росту 170 см соответствует 80% девушек (то есть 80% девушек имеют рост не выше 170 см).
• Росту 175 см соответствует 95% девушек (то есть 95% девушек имеют рост не выше 175 см).

Рост Ольги составляет 172 см, что находится в интервале между 170 см и 175 см. Для более точной оценки будем считать, что на этом небольшом участке график ведет себя как прямая линия, и воспользуемся линейной интерполяцией.

а) имеют примерно такой же рост;

Понятие «примерно такой же рост» является оценочным. Примем, что это означает рост в некотором небольшом диапазоне вокруг 172 см, например, от 171 см до 173 см. Наша задача — найти процент девушек, попадающих в этот интервал.

1. Сначала найдем, как быстро меняется процент девушек на каждый сантиметр роста в интересующем нас диапазоне (от 170 до 175 см). На этом участке длиной $175 - 170 = 5$ см процент увеличивается на $95\% - 80\% = 15\%$.

Скорость роста процента: $k = \frac{15\%}{5 \text{ см}} = 3\%$ на каждый сантиметр.

2. Теперь вычислим, какой процент девушек имеет рост не выше 171 см. Рост 171 см на 1 см больше, чем 170 см.

Процент(рост $\le$ 171 см) $\approx 80\% + 1 \text{ см} \cdot 3\%/\text{см} = 83\%$.

3. Аналогично вычислим процент девушек с ростом не выше 173 см. Рост 173 см на 3 см больше, чем 170 см.

Процент(рост $\le$ 173 см) $\approx 80\% + 3 \text{ см} \cdot 3\%/\text{см} = 89\%$.

4. Процент сверстниц с ростом в диапазоне от 171 см до 173 см равен разности этих двух значений:

$89\% - 83\% = 6\%$.

Таким образом, около 6% сверстниц Ольги имеют примерно такой же рост, как у нее.

Ответ: Примерно 6%.

б) не выше Ольги.

Найти процент сверстниц, которые «не выше Ольги», означает найти процент девушек с ростом, меньшим или равным 172 см. Это значение можно найти непосредственно по диаграмме, определив точку на кумулятивной кривой, соответствующую росту 172 см.

1. Воспользуемся ранее вычисленной скоростью роста процента: $k = 3\%/\text{см}$.

2. Рост Ольги (172 см) на 2 см больше, чем 170 см. Найдем соответствующий процент:

Процент(рост $\le$ 172 см) $\approx$ Процент(рост $\le$ 170 см) + $(172 \text{ см} - 170 \text{ см}) \cdot k$

Процент(рост $\le$ 172 см) $\approx 80\% + 2 \text{ см} \cdot 3\%/\text{см} = 80\% + 6\% = 86\%$.

Следовательно, примерно 86% сверстниц Ольги не выше неё ростом.

Ответ: Примерно 86%.

111 В архитектурном институте учится в общей сложности 450 студенток. Сколько примерно среди них девушек ростом 167–168 см? Сделайте оценку, используя данные:

а) таблицы 45;

б) диаграммы 28.

Сравните полученные числа. Можно ли считать их близкими? Какая из двух сделанных оценок, на ваш взгляд, с большей вероятностью ближе к истинной доле девушек указанного роста?

Для решения задачи необходимо сделать предположение о соотношении юношей и девушек в институте. Поскольку в условии эта информация отсутствует, будем считать, что количество девушек составляет половину от общего числа студентов.

Общее число студентов: 450.

Предполагаемое число девушек в институте: $450 / 2 = 225$.

а) Воспользуемся данными из таблицы 45, в которой представлено распределение 50 девушек по росту. Нас интересует интервал роста 167–168 см. В таблице этот диапазон является частью более широкого интервала от 166 до 170 см.

Согласно таблице, в интервал роста от 166 до 170 см (шириной $170 - 166 = 4$ см) попадают 8 девушек из 50. Ширина интересующего нас интервала (167–168 см) равна 1 см.

Предположим, что рост девушек внутри интервала [166, 170) распределен равномерно. Тогда количество девушек ростом 167–168 см в выборке можно оценить так:

$8 \cdot \frac{1 \text{ см}}{4 \text{ см}} = 2$ девушки.

Теперь найдем, какую долю (относительную частоту) эти девушки составляют от всей выборки в 50 человек:

$\frac{2}{50} = 0.04$

Применим эту долю к общему предполагаемому числу девушек в институте, чтобы получить оценку:

$225 \cdot 0.04 = 9$ девушек.

Ответ: примерно 9 девушек.

б) Воспользуемся данными диаграммы 28 — полигона частот распределения 1000 девушек по росту. Нас интересует тот же интервал роста 167–168 см.

На полигоне есть точка, соответствующая росту 168 см, с относительной частотой 0,27. В полигонах частот точки обычно соответствуют серединам интервалов. Если ширина интервала 4 см, то эта точка описывает интервал [166, 170). Это означает, что 27% девушек из выборки в 1000 человек имеют рост в этом интервале.

Примем допущение о равномерном распределении роста внутри этого интервала. Тогда относительная частота для интервала шириной 1 см (167–168 см) будет в 4 раза меньше, чем для всего интервала [166, 170):

$\frac{0.27}{4} = 0.0675$.

Это и есть искомая доля девушек ростом 167–168 см согласно данным диаграммы. Найдем их предполагаемое количество в институте:

$225 \cdot 0.0675 = 15.1875 \approx 15$ девушек.

Ответ: примерно 15 девушек.

Сравним полученные числа: 9 и 15. Эти числа нельзя считать очень близкими, так как разница между ними составляет 6, что является существенной величиной по отношению к самим оценкам.

Оценка, полученная с помощью диаграммы 28 (15 девушек), с большей вероятностью ближе к истинной. Это объясняется тем, что она основана на значительно большей выборке (1000 девушек), чем оценка, полученная из таблицы 45 (50 девушек). В статистике, согласно закону больших чисел, чем больше размер выборки, тем надежнее и точнее оценка, полученная на ее основе, и тем лучше она отражает характеристики всей генеральной совокупности.

112 Рассмотрите диаграмму 24, на которой показано распределение длительности телефонных разговоров. Оцените с помощью этой диаграммы долю телефонных разговоров длительностью:

а) менее одной минуты;

б) менее двух минут;

в) от двух до пяти минут.

Указание. Удобно использовать линейку, чтобы сначала узнать, сколько миллиметров приходится на одно деление вертикальной шкалы. Затем достаточно сложить длины соответствующих столбиков или их частей.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать диаграмму 24, которая является гистограммой. По горизонтальной оси отложена длительность телефонных разговоров в минутах, а по вертикальной — доля разговоров, приходящаяся на единицу длительности (минуту). Поскольку ширина каждого столбика на гистограмме равна 1 минуте, доля разговоров для каждого минутного интервала численно равна высоте соответствующего столбика.

Сначала оценим по диаграмме высоты столбиков, необходимых для решения:

Доля разговоров длительностью от 0 до 1 минуты ≈ 0,22.
Доля разговоров длительностью от 1 до 2 минут ≈ 0,25.
Доля разговоров длительностью от 2 до 3 минут ≈ 0,18.
Доля разговоров длительностью от 3 до 4 минут ≈ 0,13.
Доля разговоров длительностью от 4 до 5 минут ≈ 0,09.

а) менее одной минуты;
Чтобы найти долю телефонных разговоров длительностью менее одной минуты, нужно посмотреть на высоту первого столбика, который соответствует интервалу времени от 0 до 1 минуты. По диаграмме эта высота примерно равна 0,22.

Ответ: Примерно 0,22.

б) менее двух минут;
Доля разговоров длительностью менее двух минут складывается из долей разговоров длительностью менее одной минуты и разговоров длительностью от одной до двух минут. Для этого нужно сложить высоты первых двух столбиков.

Доля $\approx 0,22 + 0,25 = 0,47$.

Ответ: Примерно 0,47.

в) от двух до пяти минут.
Чтобы найти долю разговоров длительностью от двух до пяти минут, необходимо сложить доли разговоров для интервалов от 2 до 3 минут, от 3 до 4 минут и от 4 до 5 минут. Это соответствует сумме высот третьего, четвертого и пятого столбиков.

Доля $\approx 0,18 + 0,13 + 0,09 = 0,40$.

Ответ: Примерно 0,40.

227 Выпишите все элементарные события, благоприятствующие:

а) 2 успехам в серии из 4 испытаний Бернулли;

б) 5 успехам в серии из 6 испытаний Бернулли.

а) 2 успехам в серии из 4 испытаний Бернулли;

В серии испытаний Бернулли каждый исход может быть либо "успехом" (У), либо "неудачей" (Н). Элементарное событие в данном случае — это конкретная последовательность из 4 исходов. Нам нужно найти все последовательности, в которых ровно 2 успеха и, соответственно, $4 - 2 = 2$ неудачи.

Число таких последовательностей соответствует числу сочетаний из 4 элементов по 2, то есть числу способов выбрать 2 позиции для "успехов" из 4 возможных: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Таким образом, существует 6 благоприятствующих элементарных событий. Перечислим их все:

• УУНН
• УНУН
• УННУ
• НУУН
• НУНУ
• ННУУ

Ответ: УУНН, УНУН, УННУ, НУУН, НУНУ, ННУУ.

б) 5 успехам в серии из 6 испытаний Бернулли.

Аналогично, мы ищем все элементарные события (последовательности), состоящие из 6 испытаний, в которых ровно 5 "успехов" (У) и, следовательно, $6 - 5 = 1$ "неудача" (Н).

Количество таких событий равно числу способов выбрать 5 позиций для "успехов" из 6, что эквивалентно выбору 1 позиции для "неудачи": $C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = 6$.

Существует 6 таких элементарных событий. Они получаются путем размещения единственной "неудачи" (Н) на каждой из шести возможных позиций:

• НУУУУУ
• УНУУУУ
• УУНУУУ
• УУУНУУ
• УУУУНУ
• УУУУУН

Ответ: НУУУУУ, УНУУУУ, УУНУУУ, УУУНУУ, УУУУНУ, УУУУУН.

228 Сколько элементарных событий в серии из 8 испытаний Бернулли благоприятствует:

а) 2 успехам;

б) 6 успехам;

в) 5 успехам;

г) 3 успехам?

Эта задача относится к комбинаторике и теории вероятностей, а именно к схеме испытаний Бернулли. Элементарное событие в серии из 8 испытаний — это последовательность из 8 исходов, где каждый исход — «успех» или «неудача». Количество элементарных событий, в которых содержится ровно $k$ успехов в серии из $n$ испытаний, определяется числом сочетаний из $n$ по $k$.

Формула для расчета числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число испытаний, а $k$ — число успехов.

В данном случае общее число испытаний $n = 8$.

а) 2 успехам

Чтобы найти количество элементарных событий, благоприятствующих 2 успехам, нужно рассчитать число сочетаний из 8 по 2.
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28$.
Следовательно, 2 успехам благоприятствуют 28 элементарных событий.
Ответ: 28.

б) 6 успехам

Для 6 успехов рассчитываем число сочетаний из 8 по 6.
$C_8^6 = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28$.
Можно также использовать свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$, откуда следует, что $C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2 = 28$.
Следовательно, 6 успехам благоприятствуют 28 элементарных событий.
Ответ: 28.

в) 5 успехам

Для 5 успехов рассчитываем число сочетаний из 8 по 5.
$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$.
Следовательно, 5 успехам благоприятствуют 56 элементарных событий.
Ответ: 56.

г) 3 успехам?

Для 3 успехов рассчитываем число сочетаний из 8 по 3.
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$.
Используя свойство сочетаний, видим, что $C_8^3 = C_8^{8-3} = C_8^5 = 56$.
Следовательно, 3 успехам благоприятствуют 56 элементарных событий.
Ответ: 56.

229 Сколько элементарных событий благоприятствует появлению трёх орлов, если монету бросают:

Для решения данной задачи используется формула числа сочетаний из комбинаторики. Элементарное событие — это конкретная последовательность выпадения орлов (О) и решек (Р). Благоприятствующее событие — это любая последовательность, в которой содержится ровно три орла. Нам нужно найти, сколькими способами можно выбрать 3 позиции для выпадения орла из общего числа бросков. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, $k=3$ (количество орлов), а $n$ — общее количество бросков монеты.

а) 3 раза;

Монету бросают 3 раза ($n=3$), и нужно, чтобы все 3 раза выпал орёл ($k=3$). Существует только один такой исход: О-О-О (Орёл-Орёл-Орёл).

Применим формулу сочетаний:

$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

Ответ: 1

б) 5 раз;

Монету бросают 5 раз ($n=5$). Нам нужно найти количество способов, которыми могут выпасть 3 орла. Это эквивалентно выбору 3 позиций для орлов из 5 возможных.

Применим формулу сочетаний:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

Ответ: 10

в) 7 раз;

Монету бросают 7 раз ($n=7$). Нам нужно найти количество способов, которыми могут выпасть 3 орла. Это эквивалентно выбору 3 позиций для орлов из 7 возможных.

Применим формулу сочетаний:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$

Ответ: 35

г) n раз?

Монету бросают $n$ раз. Нам нужно найти количество способов, которыми могут выпасть 3 орла. Это эквивалентно выбору 3 позиций для орлов из $n$ возможных.

Используя общую формулу сочетаний, получаем:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Эта формула имеет смысл при $n \ge 3$. Если $n < 3$, то появление трех орлов невозможно, и число благоприятствующих событий равно 0.

Ответ: $C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ при $n \ge 3$, и 0 при $n < 3$.

230 Проводится серия из 10 испытаний Бернулли. Каких элементарных событий больше: тех, в которых 3 успеха, или тех, в которых 7 успехов?

В серии из $n=10$ испытаний Бернулли каждое элементарное событие представляет собой уникальную последовательность из 10 исходов, где каждый исход может быть либо «успехом», либо «неудачей». Нам необходимо сравнить количество последовательностей, содержащих ровно 3 успеха, с количеством последовательностей, содержащих ровно 7 успехов.

Для определения числа таких последовательностей используется формула числа сочетаний, так как нам нужно выбрать $k$ позиций для «успехов» из $n$ возможных позиций без учёта порядка. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Количество элементарных событий, в которых 3 успеха

В этом случае общее число испытаний $n = 10$, а число успехов $k = 3$. Рассчитаем количество способов выбрать 3 позиции для успехов из 10:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} = \frac{720}{6} = 120$

Следовательно, существует 120 элементарных событий, в которых ровно 3 успеха.

Количество элементарных событий, в которых 7 успехов

В этом случае общее число испытаний $n = 10$, а число успехов $k = 7$. Рассчитаем количество способов выбрать 7 позиций для успехов из 10:

$C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$

Следовательно, существует 120 элементарных событий, в которых ровно 7 успехов.

Сравнивая полученные результаты ($120$ и $120$), мы видим, что они равны.

Этот результат также является следствием свойства симметрии биномиальных коэффициентов, согласно которому $C_n^k = C_n^{n-k}$. В нашем случае:

$C_{10}^3 = C_{10}^{10-3} = C_{10}^7$

Это означает, что количество способов выбрать 3 элемента для «успеха» из 10 равно количеству способов выбрать 7 элементов для «успеха» (что эквивалентно выбору 3 элементов для «неудачи»).

Ответ: Количество элементарных событий, в которых 3 успеха, и тех, в которых 7 успехов, одинаково.

1 Сколько различных элементарных событий благоприятствует 5 успехам в серии из 7 испытаний Бернулли? Для ответа можно воспользоваться треугольником Паскаля (см. рис. 51).

1. Задача заключается в нахождении количества различных элементарных событий, которые соответствуют 5 успехам в серии из 7 испытаний Бернулли. Это классическая задача комбинаторики, которая решается с помощью вычисления числа сочетаний, поскольку порядок успехов и неудач в серии не важен, а важен лишь их итоговый подсчет.

Количество способов выбрать $k$ успехов из $n$ испытаний определяется формулой для биномиального коэффициента:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество испытаний $n = 7$, а требуемое количество успехов $k = 5$.

Подставим эти значения в формулу и выполним расчет:

$C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Второй способ, предложенный в условии, — использование треугольника Паскаля. Коэффициент $C_n^k$ находится в $n$-й строке (нумерация строк начинается с 0) на $k$-м месте (нумерация мест в строке также начинается с 0).

Найдём 7-ю строку треугольника Паскаля:

1 7 21 35 35 21 7 1

Эти числа соответствуют значениям для $k$ от 0 до 7. Нам нужен элемент для $k=5$ (то есть шестой по счёту), который равен 21.

Оба метода приводят к одному и тому же результату. Таким образом, существует 21 элементарное событие, благоприятствующее 5 успехам.

Ответ: 21

2 Сколько в серии из $n$ испытаний Бернулли элементарных событий, содержащих ровно $k$ успехов?

Серия из $n$ испытаний Бернулли — это последовательность из $n$ независимых экспериментов, каждый из которых может закончиться либо "успехом", либо "неудачей". Элементарное событие в такой серии — это одна конкретная последовательность исходов. Например, при $n=3$, последовательность УНУ (успех, неудача, успех) является одним из элементарных событий.

Вопрос заключается в том, сколько существует таких последовательностей длины $n$, которые содержат ровно $k$ успехов. Если в последовательности ровно $k$ успехов, то в ней, соответственно, $n-k$ неудач.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа способов, которыми можно расположить $k$ успехов на $n$ доступных позициях в последовательности. Это классическая задача комбинаторики о выборе $k$ элементов из множества $n$ без учета порядка, и ее решение — это число сочетаний из $n$ по $k$.

Число сочетаний, обозначаемое как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$, вычисляется по следующей формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (читается "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Эта формула дает количество всех элементарных событий с ровно $k$ успехами в серии из $n$ испытаний Бернулли.

Ответ: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$