Номер 229, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

229 Сколько элементарных событий благоприятствует появлению трёх орлов, если монету бросают:

Для решения данной задачи используется формула числа сочетаний из комбинаторики. Элементарное событие — это конкретная последовательность выпадения орлов (О) и решек (Р). Благоприятствующее событие — это любая последовательность, в которой содержится ровно три орла. Нам нужно найти, сколькими способами можно выбрать 3 позиции для выпадения орла из общего числа бросков. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, $k=3$ (количество орлов), а $n$ — общее количество бросков монеты.

а) 3 раза;

Монету бросают 3 раза ($n=3$), и нужно, чтобы все 3 раза выпал орёл ($k=3$). Существует только один такой исход: О-О-О (Орёл-Орёл-Орёл).

Применим формулу сочетаний:

$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

Ответ: 1

б) 5 раз;

Монету бросают 5 раз ($n=5$). Нам нужно найти количество способов, которыми могут выпасть 3 орла. Это эквивалентно выбору 3 позиций для орлов из 5 возможных.

Применим формулу сочетаний:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

Ответ: 10

в) 7 раз;

Монету бросают 7 раз ($n=7$). Нам нужно найти количество способов, которыми могут выпасть 3 орла. Это эквивалентно выбору 3 позиций для орлов из 7 возможных.

Применим формулу сочетаний:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$

Ответ: 35

г) n раз?

Монету бросают $n$ раз. Нам нужно найти количество способов, которыми могут выпасть 3 орла. Это эквивалентно выбору 3 позиций для орлов из $n$ возможных.

Используя общую формулу сочетаний, получаем:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Эта формула имеет смысл при $n \ge 3$. Если $n < 3$, то появление трех орлов невозможно, и число благоприятствующих событий равно 0.

Ответ: $C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ при $n \ge 3$, и 0 при $n < 3$.