Номер 233, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

233 Проводится серия из $n$ испытаний Бернулли, $n \ge 9$. Выразите формулой число элементарных событий, которые благоприятствуют появлению:

а) 2 или 3 успехов;

б) не более 5 успехов;

в) ровно 4, 6 или 9 успехов;

г) менее 4 неудач.

а) 2 или 3 успехов;
Событие "2 или 3 успеха" является объединением двух несовместных событий: "ровно 2 успеха" и "ровно 3 успеха". Число элементарных событий, благоприятствующих появлению ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях Бернулли, вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для 2 успехов число благоприятствующих событий равно $C_n^2$. Для 3 успехов число благоприятствующих событий равно $C_n^3$. Поскольку события несовместны, общее число благоприятствующих событий равно сумме чисел событий для каждого случая.
Ответ: $C_n^2 + C_n^3$.

б) не более 5 успехов;
Событие "не более 5 успехов" означает, что число успехов $k$ может быть равно 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Все эти исходы являются несовместными. Число благоприятствующих событий для каждого значения $k$ равно $C_n^k$. По правилу суммы, общее число благоприятствующих событий равно сумме чисел событий для каждого возможного значения $k$: $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5$. Эту сумму можно записать в компактном виде.
Ответ: $\sum_{k=0}^{5} C_n^k$.

в) ровно 4, 6 или 9 успехов;
Событие "ровно 4, 6 или 9 успехов" является объединением трех несовместных событий. Условие $n \ge 9$ гарантирует, что все эти случаи возможны. Число событий для 4 успехов: $C_n^4$. Число событий для 6 успехов: $C_n^6$. Число событий для 9 успехов: $C_n^9$. По правилу суммы, общее число благоприятствующих событий равно их сумме.
Ответ: $C_n^4 + C_n^6 + C_n^9$.

г) менее 4 неудач.
Событие "менее 4 неудач" означает, что число неудач $m$ может быть равно 0, 1, 2 или 3. Число элементарных событий, в которых происходит ровно $m$ неудач в $n$ испытаниях, также равно числу сочетаний из $n$ по $m$, то есть $C_n^m$. Это эквивалентно событию, в котором произошло $n-m$ успехов. Так как исходы (0, 1, 2, 3 неудачи) несовместны, общее число благоприятствующих событий находится по правилу суммы: $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3$. Эту сумму можно записать в компактном виде.
Ответ: $\sum_{k=0}^{3} C_n^k$.