Номер 235, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

235 В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью $p = 0,5$.

Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний:

а) наступит ровно 2 успеха;

б) наступит ровно 1 успех;

в) наступит ровно 3 успеха;

г) все испытания окончатся неудачей.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ — общее число испытаний,
• $k$ — число ожидаемых успехов,
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании,
• $q$ — вероятность неудачи в одном испытании ($q = 1 - p$),
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний (биномиальный коэффициент).

Согласно условию задачи, у нас есть:

• Число испытаний: $n = 4$.
• Вероятность успеха: $p = 0.5$.
• Вероятность неудачи: $q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5$.

Так как $p=q=0.5$, то $p^k \cdot q^{n-k} = (0.5)^k \cdot (0.5)^{n-k} = (0.5)^{k+n-k} = (0.5)^n$. В нашем случае это $(0.5)^4$.

а) наступит ровно 2 успеха

Требуется найти вероятность для $k=2$.

Сначала вычислим биномиальный коэффициент $C_4^2$:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$.

Теперь вычислим вероятность:

$P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} = 6 \cdot (0.5)^4 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375$.

Ответ: $0.375$

б) наступит ровно 1 успех

Требуется найти вероятность для $k=1$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_4^1$:

$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$.

Теперь вычислим вероятность:

$P_4(1) = C_4^1 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{4-1} = 4 \cdot (0.5)^4 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25$.

Ответ: $0.25$

в) наступит ровно 3 успеха

Требуется найти вероятность для $k=3$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_4^3$:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.

Теперь вычислим вероятность:

$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{4-3} = 4 \cdot (0.5)^4 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25$.

Ответ: $0.25$

г) все испытания окончатся неудачей

Это означает, что наступит ровно 0 успехов ($k=0$).

Вычислим биномиальный коэффициент $C_4^0$:

$C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{0!4!} = 1$.

Теперь вычислим вероятность:

$P_4(0) = C_4^0 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^{4-0} = 1 \cdot (0.5)^4 = 1 \cdot 0.0625 = 0.0625$.

Ответ: $0.0625$