Номер 2, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Запишите выражение для вероятности события «наступило 2 или 3 успеха в серии из 9 испытаний Бернулли».

$P(X=2 \text{ или } X=3) = \binom{9}{2} p^2 q^{7} + \binom{9}{3} p^3 q^{6}$

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где:

• $n$ — общее число испытаний;
• $k$ — число наступивших успехов;
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании;
• $q$ — вероятность неудачи в одном испытании ($q = 1-p$);
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

В условии задачи дано:

• Число испытаний $n=9$.
• Событие, вероятность которого нужно найти: «наступило 2 или 3 успеха».

События «наступило 2 успеха» и «наступило 3 успеха» являются несовместными, то есть они не могут произойти одновременно. Поэтому вероятность их объединения (события «или-или») равна сумме их вероятностей.

Обозначим искомое событие как $A$. Тогда $P(A) = P_9(2) + P_9(3)$.

1. Найдём вероятность того, что в 9 испытаниях наступило ровно 2 успеха ($k=2$):
$P_9(2) = C_9^2 p^2 q^{9-2} = C_9^2 p^2 q^7$

2. Найдём вероятность того, что в 9 испытаниях наступило ровно 3 успеха ($k=3$):
$P_9(3) = C_9^3 p^3 q^{9-3} = C_9^3 p^3 q^6$

3. Сложим полученные вероятности, чтобы найти итоговое выражение:
$P(A) = P_9(2) + P_9(3) = C_9^2 p^2 q^7 + C_9^3 p^3 q^6$

Это и есть искомое выражение для вероятности.

Ответ: $C_9^2 p^2 q^7 + C_9^3 p^3 q^6$