Номер 1, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

1 Сколько различных элементарных событий благоприятствует 5 успехам в серии из 7 испытаний Бернулли? Для ответа можно воспользоваться треугольником Паскаля (см. рис. 51).

1. Задача заключается в нахождении количества различных элементарных событий, которые соответствуют 5 успехам в серии из 7 испытаний Бернулли. Это классическая задача комбинаторики, которая решается с помощью вычисления числа сочетаний, поскольку порядок успехов и неудач в серии не важен, а важен лишь их итоговый подсчет.

Количество способов выбрать $k$ успехов из $n$ испытаний определяется формулой для биномиального коэффициента:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество испытаний $n = 7$, а требуемое количество успехов $k = 5$.

Подставим эти значения в формулу и выполним расчет:

$C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Второй способ, предложенный в условии, — использование треугольника Паскаля. Коэффициент $C_n^k$ находится в $n$-й строке (нумерация строк начинается с 0) на $k$-м месте (нумерация мест в строке также начинается с 0).

Найдём 7-ю строку треугольника Паскаля:

1 7 21 35 35 21 7 1

Эти числа соответствуют значениям для $k$ от 0 до 7. Нам нужен элемент для $k=5$ (то есть шестой по счёту), который равен 21.

Оба метода приводят к одному и тому же результату. Таким образом, существует 21 элементарное событие, благоприятствующее 5 успехам.

Ответ: 21