Номер 223, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

223 Пользуясь результатами задачи 222, перечертите в тетрадь и заполните таблицу 6, в которой указано, сколько может быть элементарных событий без успехов, с одним успехом, с двумя успехами и т. д. в серии из четырёх испытаний Бернулли.

Таблица 6. Элементарные события в серии из четырёх испытаний

Для решения данной задачи необходимо найти число благоприятствующих элементарных событий для каждого возможного числа успехов в серии из четырех независимых испытаний (испытаний Бернулли). Элементарное событие — это конкретная последовательность из четырех исходов, где каждый исход может быть либо успехом (У), либо неуспехом (Н).

Чтобы найти количество способов, которыми можно получить ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях, используется формула для числа сочетаний (биномиальный коэффициент):

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество испытаний $n = 4$. Проведем расчеты для каждого числа успехов $k$ от 0 до 4.

Без успехов (0 успехов)

Это случай, когда все четыре испытания завершаются неуспехом. Существует только одна такая последовательность исходов: НННН.
Рассчитаем по формуле, где $k=0$:
$C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{1 \cdot 4!} = 1$

Ответ: 1

С одним успехом

Это случай, когда одно испытание успешно, а остальные три — нет. Успех может произойти на любой из четырех позиций. Возможные последовательности: УННН, НУНН, ННУН, НННУ.
Рассчитаем по формуле, где $k=1$:
$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1 \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4$

Ответ: 4

С двумя успехами

Это случай, когда два испытания успешны, а два — нет. Нужно найти количество способов выбрать две позиции для успехов из четырех. Возможные последовательности: УУНН, УНУН, УННУ, НУУН, НУНУ, ННУУ.
Рассчитаем по формуле, где $k=2$:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$

Ответ: 6

С тремя успехами

Это случай, когда три испытания успешны, а одно — нет. Это симметрично случаю с одним успехом (здесь мы выбираем позицию для одного неуспеха). Возможные последовательности: УУУН, УУНУ, УНУУ, НУУУ.
Рассчитаем по формуле, где $k=3$:
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4$

Ответ: 4

С четырьмя успехами

Это случай, когда все четыре испытания успешны. Существует только одна такая последовательность: УУУУ.
Рассчитаем по формуле, где $k=4$:
$C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4! \cdot 0!} = \frac{4!}{4! \cdot 1} = 1$

Ответ: 1

Теперь заполним таблицу, используя полученные результаты.