Номер 221, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

221 Инженеры проектируют систему автоматической передачи информации от автомобиля в кризисный центр в случае аварии. Возможны помехи разного рода, поэтому система должна уметь делать несколько попыток, чтобы достичь успеха. Число попыток нужно ограничить, чтобы система не зависла. По техническому заданию вероятность передачи информации должна быть не ниже $0.95$, если вероятность успеха в каждой отдельной попытке $0.2$. Каким числом ограничить разрешённое количество попыток?

Обозначим вероятность успеха в одной отдельной попытке как $p$. По условию задачи, $p = 0.2$.

Тогда вероятность неудачи в одной попытке, которую обозначим как $q$, равна:$q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$

Система не сможет передать информацию только в том случае, если все попытки окажутся неудачными. Пусть $n$ — это разрешённое количество попыток. Вероятность того, что все $n$ попыток будут неудачными, равна $q^n$ (поскольку попытки являются независимыми событиями).

Вероятность успешной передачи информации $P_{успеха}$ — это вероятность того, что хотя бы одна попытка из $n$ окажется успешной. Это событие, противоположное событию, когда все $n$ попыток неудачны. Следовательно,$P_{успеха} = 1 - q^n = 1 - (0.8)^n$

Согласно техническому заданию, вероятность успешной передачи информации должна быть не ниже 0,95. Это можно записать в виде неравенства:$1 - (0.8)^n \ge 0.95$

Решим это неравенство относительно $n$:$-(0.8)^n \ge 0.95 - 1$$-(0.8)^n \ge -0.05$Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:$(0.8)^n \le 0.05$

Чтобы найти $n$, прологарифмируем обе части неравенства. Можно использовать натуральный логарифм (ln).$\ln((0.8)^n) \le \ln(0.05)$$n \cdot \ln(0.8) \le \ln(0.05)$

Так как $0.8 < 1$, значение $\ln(0.8)$ является отрицательным числом. При делении на отрицательное число знак неравенства снова меняется на противоположный:$n \ge \frac{\ln(0.05)}{\ln(0.8)}$

Подставим приблизительные значения логарифмов:$\ln(0.05) \approx -2.9957$$\ln(0.8) \approx -0.2231$$n \ge \frac{-2.9957}{-0.2231}$$n \ge 13.427...$

Поскольку количество попыток $n$ должно быть целым числом, необходимо округлить полученное значение в большую сторону до ближайшего целого.Следовательно, минимально необходимое количество попыток равно 14.

Проверим:При $n=13$ вероятность успеха $P_{успеха} = 1 - (0.8)^{13} \approx 1 - 0.055 = 0.945$, что меньше 0.95.При $n=14$ вероятность успеха $P_{успеха} = 1 - (0.8)^{14} \approx 1 - 0.044 = 0.956$, что больше 0.95.Расчет верен.

Ответ: 14