Номер 218, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

218 Вероятность того, что новый мобильный телефон выйдет из строя в течение первого года работы, равна 0,2. Если телефон проработал какое-то время, то вероятность его поломки в течение следующего года такая же (в телефоне нет изнашивающихся деталей, поэтому вероятность его поломки не растёт со временем). Найдите вероятность того, что новый телефон выйдет из строя:

a) на четвёртый год службы;

б) не позже чем через три года после покупки.

Пусть вероятность того, что телефон выйдет из строя в течение любого года (при условии, что он работал в начале года), равна $p$. По условию, $p = 0,2$.
Тогда вероятность того, что телефон проработает год и не сломается, равна $q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$.
События, связанные с работой телефона в разные годы, являются независимыми.

а) на четвёртый год службы;

Для того чтобы телефон вышел из строя именно на четвёртый год службы, должны произойти следующие независимые события: он должен успешно проработать первые три года и сломаться на четвёртый.

Вероятность того, что телефон проработает первые три года, равна произведению вероятностей того, что он проработает каждый из этих годов:
$P(\text{работа 3 года}) = q \times q \times q = q^3 = (0,8)^3 = 0,512$.

Искомая вероятность – это вероятность того, что телефон проработает 3 года и после этого сломается на четвёртый год:
$P(\text{поломка на 4-й год}) = P(\text{работа 3 года}) \times P(\text{поломка в 4-м году}) = q^3 \times p = (0,8)^3 \times 0,2 = 0,512 \times 0,2 = 0,1024$.

Ответ: 0,1024

б) не позже чем через три года после покупки.

Событие "телефон выйдет из строя не позже чем через три года" означает, что он сломается либо в первый год, либо во второй, либо в третий. Это событие является противоположным событию "телефон проработает все три года без поломок". Вычислить вероятность противоположного события и вычесть ее из 1 проще.

Сначала найдем вероятность противоположного события: "телефон проработает все три года".
Вероятность того, что телефон проработает все три года, равна произведению вероятностей того, что он будет работать каждый год:
$P(\text{работа 3 года}) = q \times q \times q = q^3 = (0,8)^3 = 0,512$.

Искомая вероятность (что телефон сломается в течение первых трёх лет) равна разности между 1 и вероятностью того, что он проработает все три года:
$P(\text{поломка в течение 3 лет}) = 1 - P(\text{работа 3 года}) = 1 - 0,512 = 0,488$.

Ответ: 0,488