Номер 220, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

220 Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна $p = 0,4$. Сколько патронов должен иметь стрелок перед началом стрельбы, чтобы поразить мишень с вероятностью не менее $0,9$?

Пусть $n$ — искомое количество патронов, которое должен иметь стрелок. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле, согласно условию, составляет $p = 0.4$.

Тогда вероятность промаха при одном выстреле равна $q$:
$q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.

Событие "поразить мишень с $n$ патронами" означает, что стрелок попадет в мишень хотя бы один раз из $n$ выстрелов. Проще найти вероятность противоположного события — "стрелок промахнется все $n$ раз".

Так как все выстрелы являются независимыми событиями, вероятность промахнуться $n$ раз подряд равна произведению вероятностей каждого промаха:$P(\text{n промахов}) = q^n = (0.6)^n$.

Вероятность поразить мишень (то есть совершить хотя бы одно попадание) является противоположной событию "промахнуться все $n$ раз". Следовательно, её можно вычислить как:$P(\text{поразить мишень}) = 1 - P(\text{n промахов}) = 1 - (0.6)^n$.

По условию задачи, эта вероятность должна быть не менее 0,9. Составим и решим неравенство:$1 - (0.6)^n \ge 0.9$

Преобразуем неравенство:$-(0.6)^n \ge 0.9 - 1$
$-(0.6)^n \ge -0.1$
$(0.6)^n \le 0.1$

Теперь найдем наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, путем подбора:
При $n=1$: $(0.6)^1 = 0.6$, что больше $0.1$.
При $n=2$: $(0.6)^2 = 0.36$, что больше $0.1$.
При $n=3$: $(0.6)^3 = 0.216$, что больше $0.1$.
При $n=4$: $(0.6)^4 = 0.1296$, что больше $0.1$.
При $n=5$: $(0.6)^5 = 0.07776$, что меньше $0.1$.

Таким образом, наименьшее количество выстрелов, при котором вероятность попадания будет не менее 0,9, равно 5. Следовательно, стрелок должен иметь не менее 5 патронов.

Ответ: 5