Номер 216, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

216 Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна $p$, а вероятность неудачи равна $q = 1 - p$. Найдите вероятность события (выразите её через $p$ и $q$), заключающегося в том, что:

а) «успех случится при втором испытании»;

б) «успех случится позже четвёртого испытаний»;

в) «успех случится не позже шестого испытания»;

г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний».

а) «успех случится при втором испытании»

Событие «успех случится при втором испытании» означает, что первое испытание было неудачным (вероятность этого равна $q$), а второе — успешным (вероятность $p$). Поскольку испытания являются независимыми, мы можем перемножить их вероятности.

Вероятность этого события равна: $q \cdot p$.

Ответ: $qp$.

б) «успех случится позже четвёртого испытания»

Событие «успех случится позже четвёртого испытания» означает, что первые четыре испытания закончились неудачей. Вероятность неудачи в одном отдельном испытании равна $q$.

Так как все испытания независимы, вероятность того, что первые четыре испытания будут неудачными, равна произведению их вероятностей: $q \cdot q \cdot q \cdot q = q^4$.

Ответ: $q^4$.

в) «успех случится не позже шестого испытания»

Событие «успех случится не позже шестого испытания» означает, что успех произойдет на одном из испытаний с первого по шестое включительно. Для решения этой задачи удобнее найти вероятность противоположного события и вычесть её из единицы.

Противоположное событие — «успех случится позже шестого испытания». Это эквивалентно тому, что первые шесть испытаний были неудачными. Вероятность этого события равна $q^6$.

Следовательно, искомая вероятность равна: $1 - q^6$.

Этот же результат можно получить прямым суммированием вероятностей успеха на 1-м, 2-м, ..., 6-м испытании: $P(\text{успех на 1-6}) = \sum_{k=1}^{6} q^{k-1}p = p(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5)$. Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии и тот факт, что $1-q=p$, получаем: $p \frac{1-q^6}{1-q} = p \frac{1-q^6}{p} = 1 - q^6$.

Ответ: $1 - q^6$.

г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний»

Данное событие означает, что успех случится либо на третьем, либо на четвертом, либо на пятом испытании. Так как эти три исхода являются несовместными событиями, общая вероятность будет равна сумме их вероятностей.

Вероятность успеха на 3-м испытании (две неудачи, затем успех) равна $q^2p$.
Вероятность успеха на 4-м испытании (три неудачи, затем успех) равна $q^3p$.
Вероятность успеха на 5-м испытании (четыре неудачи, затем успех) равна $q^4p$.

Искомая вероятность равна сумме этих вероятностей:

$q^2p + q^3p + q^4p$

Это выражение можно упростить. Вынесем общий множитель $q^2p$: $q^2p(1 + q + q^2)$. Используя формулу для суммы геометрической прогрессии $1+q+q^2 = \frac{1-q^3}{1-q}$ и то, что $1-q=p$, получаем альтернативную форму ответа: $q^2p \cdot \frac{1-q^3}{p} = q^2(1-q^3) = q^2 - q^5$.

Ответ: $q^2p + q^3p + q^4p$ (или $q^2 - q^5$).