Номер 214, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

214 Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестёрка. Найдите вероятность того, что будет сделано:

а) ровно 2 броска;

б) ровно 3 броска;

в) ровно 6 бросков;

г) не более 4 бросков.

Для решения данной задачи по теории вероятностей определим основные вероятности. Бросается стандартная игральная кость с шестью гранями.

Вероятность выпадения шестёрки (назовем это событие "успех") при одном броске равна $p = \frac{1}{6}$.

Вероятность того, что шестёрка не выпадет (назовем это событие "неудача"), равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Каждый бросок является независимым событием.

а) ровно 2 броска;

Чтобы было сделано ровно 2 броска, необходимо, чтобы при первом броске произошла "неудача" (не выпала шестёрка), а при втором — "успех" (выпала шестёрка). Вероятность этой последовательности событий равна произведению вероятностей этих независимых событий.

$P(2) = q \cdot p = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{36}$.

б) ровно 3 броска;

Чтобы было сделано ровно 3 броска, необходимо, чтобы первые два броска были "неудачами", а третий — "успехом".

$P(3) = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$.

Ответ: $\frac{25}{216}$.

в) ровно 6 бросков;

Чтобы было сделано ровно 6 бросков, необходимо, чтобы первые пять бросков были "неудачами", а шестой — "успехом".

$P(6) = q^5 \cdot p = (\frac{5}{6})^5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3125}{7776} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3125}{46656}$.

Ответ: $\frac{3125}{46656}$.

г) не более 4 бросков.

Событие "сделано не более 4 бросков" означает, что "успех" (выпадение шестёрки) произошел на первом, или на втором, или на третьем, или на четвёртом броске. Эти четыре исхода являются несовместными событиями, поэтому их вероятности можно сложить.

$P(\text{не более 4}) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4)$.

Вычислим каждую вероятность:

$P(1) = p = \frac{1}{6}$

$P(2) = q \cdot p = \frac{5}{36}$

$P(3) = q^2 \cdot p = \frac{25}{216}$

$P(4) = q^3 \cdot p = (\frac{5}{6})^3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{125}{216} \cdot \frac{1}{6} = \frac{125}{1296}$

Теперь сложим эти вероятности, приведя их к общему знаменателю 1296:

$P(\text{не более 4}) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{25}{216} + \frac{125}{1296} = \frac{1 \cdot 216}{1296} + \frac{5 \cdot 36}{1296} + \frac{25 \cdot 6}{1296} + \frac{125}{1296} = \frac{216 + 180 + 150 + 125}{1296} = \frac{671}{1296}$.

Альтернативный способ:

Событие "сделано не более 4 бросков" является противоположным событию "в первых 4 бросках шестёрка ни разу не выпала". Вероятность того, что в первых 4 бросках шестёрка не выпадет, равна $q^4$.

$P(\text{4 неудачи подряд}) = q^4 = (\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1296}$.

Тогда искомая вероятность равна разности единицы и вероятности противоположного события:

$P(\text{не более 4}) = 1 - P(\text{4 неудачи подряд}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$.

Ответ: $\frac{671}{1296}$.