Номер 215, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

215 Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна $p = 0,6$. Найдите вероятность того, что стрелку потребуется:

а) ровно 5 попыток;

б) от 2 до 4 попыток.

Пусть событие A — стрелок попал в мишень, а событие B — стрелок промахнулся. По условию задачи, вероятность попадания (событие A) при каждом выстреле равна $p = P(A) = 0.6$. Следовательно, вероятность промаха (событие B) равна $q = P(B) = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$. События (выстрелы) являются независимыми.

а) ровно 5 попыток

Стрелку потребуется ровно 5 попыток, если он 4 раза подряд промахнется и на 5-й раз попадет. Это последовательность событий: промах, промах, промах, промах, попадание. Вероятность такой последовательности, так как выстрелы независимы, равна произведению вероятностей этих событий:
$P(5) = q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot p = q^4 \cdot p$
Подставим значения $p$ и $q$:
$P(5) = (0.4)^4 \cdot 0.6 = 0.0256 \cdot 0.6 = 0.01536$
Ответ: 0.01536

б) от 2 до 4 попыток

Стрелку потребуется от 2 до 4 попыток, если он попадет со 2-й, или с 3-й, или с 4-й попытки. Эти события несовместны, поэтому их вероятности нужно сложить.
1. Вероятность того, что потребуется 2 попытки (промах, попадание):
$P(2) = q \cdot p = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24$
2. Вероятность того, что потребуется 3 попытки (промах, промах, попадание):
$P(3) = q^2 \cdot p = (0.4)^2 \cdot 0.6 = 0.16 \cdot 0.6 = 0.096$
3. Вероятность того, что потребуется 4 попытки (промах, промах, промах, попадание):
$P(4) = q^3 \cdot p = (0.4)^3 \cdot 0.6 = 0.064 \cdot 0.6 = 0.0384$
Суммарная вероятность равна:
$P(\text{от 2 до 4}) = P(2) + P(3) + P(4) = 0.24 + 0.096 + 0.0384 = 0.3744$
Ответ: 0.3744