Номер 212, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

212 Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Найдите вероятность того, что к моменту выпадения орла будет сделано:

a) ровно 4 броска;

б) 2 или 3 броска;

в) больше 2 бросков;

г) не больше 3 бросков.

Пусть вероятность выпадения орла (О) равна $P(О) = 1/2$, а вероятность выпадения решки (Р) равна $P(Р) = 1/2$. Каждый бросок является независимым событием.

а) ровно 4 броска

Для того чтобы было сделано ровно 4 броска, необходимо, чтобы первые три раза выпала решка, а на четвертый раз — орёл. Последовательность исходов выглядит так: Р, Р, Р, О. Поскольку броски независимы, вероятность этой последовательности равна произведению вероятностей каждого исхода: $P(РРРО) = P(Р) \times P(Р) \times P(Р) \times P(О) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

б) 2 или 3 броска

Это событие означает, что орёл выпадет либо на втором, либо на третьем броске. Эти два события несовместны, поэтому их вероятности можно сложить.
Вероятность того, что будет сделано ровно 2 броска (последовательность Р, О): $P(\text{2 броска}) = P(Р) \times P(О) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Вероятность того, что будет сделано ровно 3 броска (последовательность Р, Р, О): $P(\text{3 броска}) = P(Р) \times P(Р) \times P(О) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
Суммарная вероятность: $P(\text{2 или 3 броска}) = P(\text{2 броска}) + P(\text{3 броска}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

в) больше 2 бросков

Событие "сделано больше 2 бросков" означает, что эксперимент не закончился после второго броска. Это возможно только в том случае, если первые два броска были решками. Вероятность того, что первые два броска — решки (последовательность Р, Р): $P(РР) = P(Р) \times P(Р) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) не больше 3 бросков

Событие "сделано не больше 3 бросков" означает, что орёл выпал на первом, втором или третьем броске. Это объединение трёх несовместных событий.
$P(\text{1 бросок}) = P(О) = \frac{1}{2}$.
$P(\text{2 броска}) = P(РО) = \frac{1}{4}$.
$P(\text{3 броска}) = P(РРО) = \frac{1}{8}$.
Суммируя эти вероятности, получаем: $P(\text{не больше 3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Также можно решить задачу через противоположное событие. Противоположное событие — "сделано больше 3 бросков". Это произойдет, если первые три броска — решки (РРР). $P(\text{больше 3 бросков}) = P(РРР) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
Тогда искомая вероятность: $P(\text{не больше 3 бросков}) = 1 - P(\text{больше 3 бросков}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$.