Номер 207, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

207 Из отрезка $[0; 1]$ случайным образом выбирается число $x$. Найдите вероятность того, что:

а) $x^2 < 0,25$;

б) $x^2 \ge 0,09$.

Данная задача относится к задачам на геометрическую вероятность. Так как число $x$ выбирается случайным образом из отрезка $[0; 1]$, то пространство элементарных исходов представляет собой этот отрезок. Его длина, или мера, равна $L_{total} = 1 - 0 = 1$.

Вероятность события $A$ вычисляется как отношение длины отрезка, соответствующего благоприятным исходам ($L_{fav}$), к длине всего отрезка ($L_{total}$):

$P(A) = \frac{L_{fav}}{L_{total}}$

а) $x^2 < 0,25$

Сначала решим неравенство $x^2 < 0,25$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $|x| < \sqrt{0,25}$, что равносильно $|x| < 0,5$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-0,5 < x < 0,5$.

По условию задачи, число $x$ выбирается из отрезка $[0; 1]$. Следовательно, мы должны найти пересечение решения неравенства $(-0,5; 0,5)$ с отрезком $[0; 1]$.

Общей частью этих двух множеств является полуинтервал $[0; 0,5)$.

Длина этого интервала (множества благоприятных исходов) равна $L_{fav} = 0,5 - 0 = 0,5$.

Теперь найдем вероятность:

$P(x^2 < 0,25) = \frac{L_{fav}}{L_{total}} = \frac{0,5}{1} = 0,5$.

Ответ: 0,5

б) $x^2 \ge 0,09$

Сначала решим неравенство $x^2 \ge 0,09$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $|x| \ge \sqrt{0,09}$, что равносильно $|x| \ge 0,3$.

Это неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств: $x \ge 0,3$ или $x \le -0,3$.

По условию задачи, число $x$ выбирается из отрезка $[0; 1]$. Найдем пересечение решения $x \in (-\infty; -0,3] \cup [0,3; +\infty)$ с отрезком $[0; 1]$.

Часть решения $x \le -0,3$ не пересекается с отрезком $[0; 1]$.

Часть решения $x \ge 0,3$ при пересечении с отрезком $[0; 1]$ дает отрезок $[0,3; 1]$.

Длина этого отрезка (множества благоприятных исходов) равна $L_{fav} = 1 - 0,3 = 0,7$.

Теперь найдем вероятность:

$P(x^2 \ge 0,09) = \frac{L_{fav}}{L_{total}} = \frac{0,7}{1} = 0,7$.

Ответ: 0,7