Номер 206, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

206 В самом начале поэмы Н. В. Гоголя «Мёртвые души» два мужика спорят относительно того, как далеко доедет колесо в экипаже Чичикова:

«...Два русских мужика, стоявшие у дверей кабака против гостиницы, сделали кое-какие замечания, относившиеся впрочем более к экипажу, чем к сидевшему в нём. «Вишь ты», сказал один другому: «вон какое колесо! Что ты думаешь, доедет то колесо, если б случилось, в Москву, или не доедет?» — «Доедет», — отвечал другой. «А в Казань-то, я думаю, не доедет?» — «В Казань не доедет», — отвечал другой».

Предположим, что путь от упомянутой гостиницы в Казань ведёт через Москву и что до Москвы 140 вёрст, а от Москвы до Казани ещё 760 вёрст. Будем считать, что колесо обязательно сломается, причём это может случиться в любой момент на пути от гостиницы до Казани. Найдите вероятность того, что:

a) колесо доедет до Москвы, как и предполагают мужики;

б) колесо не доедет даже до Москвы.

Для решения этой задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. По условию, поломка колеса — это случайное событие, которое может произойти в любой момент на всём пути от гостиницы до Казани. Это означает, что точка поломки равномерно распределена по всей длине пути.

Сначала найдём общую длину пути. Путь состоит из двух участков:
1. От гостиницы до Москвы: 140 вёрст.
2. От Москвы до Казани: 760 вёрст.

Общая длина пути $S_{общ}$ равна сумме длин этих участков:
$S_{общ} = 140 \text{ вёрст} + 760 \text{ вёрст} = 900 \text{ вёрст}$.

Весь путь можно представить как отрезок длиной 900 единиц. Поломка может произойти в любой точке этого отрезка. Вероятность того, что поломка произойдёт на определённом участке пути, равна отношению длины этого участка к общей длине всего пути.

а) колесо доедет до Москвы, как и предполагают мужики;

Событие "колесо доедет до Москвы" означает, что оно сломается где-то на участке пути после Москвы, то есть на отрезке от Москвы до Казани. Длина этого участка составляет 760 вёрст.

Вероятность этого события $P(A)$ равна отношению длины благоприятного участка (от Москвы до Казани) к общей длине пути:
$P(A) = \frac{\text{длина пути от Москвы до Казани}}{\text{общая длина пути}} = \frac{760}{900}$

Сократим полученную дробь:
$\frac{760}{900} = \frac{76}{90} = \frac{38}{45}$

Ответ: $\frac{38}{45}$

б) колесо не доедет даже до Москвы.

Событие "колесо не доедет даже до Москвы" означает, что оно сломается где-то на участке пути до Москвы, то есть на отрезке от гостиницы до Москвы. Длина этого участка составляет 140 вёрст.

Вероятность этого события $P(Б)$ равна отношению длины этого участка к общей длине пути:
$P(Б) = \frac{\text{длина пути от гостиницы до Москвы}}{\text{общая длина пути}} = \frac{140}{900}$

Сократим дробь:
$\frac{140}{900} = \frac{14}{90} = \frac{7}{45}$

Заметим, что это событие является противоположным событию из пункта а) (колесо либо доедет до Москвы, либо не доедет, так как оно обязательно сломается). Поэтому можно было найти эту вероятность и другим способом:
$P(Б) = 1 - P(A) = 1 - \frac{38}{45} = \frac{45 - 38}{45} = \frac{7}{45}$

Ответ: $\frac{7}{45}$