Страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 В чём заключается группировка данных?

Группировка данных — это процесс объединения отдельных записей из набора данных в группы на основе одного или нескольких общих признаков (ключей). Основная цель группировки — это агрегация, то есть вычисление итоговых или сводных статистических показателей для каждой группы. Это позволяет анализировать данные на более высоком, обобщенном уровне, выявлять закономерности и сравнивать различные категории между собой.

Процесс группировки обычно включает в себя три основных этапа, известных как "Split-Apply-Combine" (Разделение-Применение-Объединение):

1. Разделение (Split): Исходный набор данных разделяется на подмножества (группы) на основе заданного критерия (ключа группировки). Например, данные о продажах можно разделить на группы по городам, месяцам или категориям товаров. Все записи с одинаковым значением ключа попадают в одну группу.
2. Применение (Apply): К каждой полученной группе применяется определенная функция. Чаще всего это агрегирующие функции, которые вычисляют один итоговый показатель для всей группы, например:
   • $COUNT$ — подсчет количества записей в группе;
   • $SUM$ — вычисление суммы значений по определенному полю;
   • $AVG$ — нахождение среднего значения;
   • $MIN$ / $MAX$ — поиск минимального или максимального значения.
3. Объединение (Combine): Результаты, полученные на предыдущем шаге для каждой группы, объединяются в новую структуру данных (например, в итоговую таблицу), где каждая строка представляет одну группу и ее вычисленный показатель.

Например, имея таблицу с информацией о сотрудниках и их зарплатах в разных отделах, можно сгруппировать данные по полю "Отдел" (ключ группировки), а затем для каждой группы (отдела) рассчитать среднюю зарплату с помощью функции $AVG$. В результате мы получим компактную таблицу, показывающую среднюю зарплату в каждом отделе, что гораздо удобнее для анализа, чем исходный массив данных.

Ответ: Группировка данных заключается в объединении записей в группы по общему признаку (или нескольким признакам) для последующего вычисления по каждой группе сводных показателей (суммы, среднего, количества и т.д.) с целью анализа и обобщения данных.

2 Что такое шаг группировки?

Шаг группировки, также называемый величиной интервала, — это количественная мера, определяющая ширину каждого интервала (группы), на которые разбивается совокупность данных при построении интервального ряда распределения.

Группировка данных по интервалам необходима для анализа больших массивов информации, особенно для непрерывных или имеющих множество значений признаков. Она позволяет наглядно представить структуру данных, например, в виде гистограммы.

Порядок определения шага группировки с равными интервалами:

1. Определяется размах вариации ($R$) — разница между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значением признака в исследуемой совокупности.
Формула: $R = x_{max} - x_{min}$

2. Задается число групп ($k$). Количество групп можно выбрать произвольно (обычно от 5 до 15) либо рассчитать по формуле Стерджесса, которая связывает оптимальное число групп с объемом выборки ($n$):
Формула Стерджесса: $k \approx 1 + 3.322 \cdot \lg(n)$

3. Вычисляется шаг группировки ($h$) путем деления размаха вариации на число групп.
Формула: $h = \frac{R}{k}$
Полученное значение $h$ обычно округляют в большую сторону до удобного для расчетов числа (например, до целого или до числа, кратного 5 или 10).

Пример:

Предположим, анализируются данные о годовом доходе 50 сотрудников компании. Минимальный доход составляет 420 тыс. руб., а максимальный — 1250 тыс. руб.

1. Размах вариации: $R = 1250 - 420 = 830$ тыс. руб.

2. Определим число групп. Пусть $k=8$.

3. Рассчитаем шаг группировки: $h = \frac{830}{8} = 103.75$ тыс. руб.

Для удобства округлим шаг до $h = 100$ тыс. руб. Тогда можно сформировать группы: 420-520, 520-620, 620-720 и так далее, пока все значения не попадут в интервалы.

Существуют также группировки с неравными шагами, которые применяются, когда значения признака распределены крайне неравномерно.

Ответ: Шаг группировки — это длина (ширина) каждого интервала, на которые разбиваются данные при их статистической обработке. Он рассчитывается путем деления размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) на выбранное количество групп и служит для систематизации и упрощения анализа больших наборов данных.

3 Как выбрать подходящий шаг группировки?

Выбор подходящего шага группировки (ширины интервала) является ключевым этапом при анализе данных, построении гистограмм и таблиц частот. Неправильный выбор может исказить представление о характере распределения данных. Основная задача — найти баланс между излишней детализацией и чрезмерным обобщением.

Основные принципы и компромиссы

Выбор шага — это всегда компромисс:
1. Слишком маленький шаг (слишком много групп): Приводит к созданию большого числа интервалов, в каждом из которых оказывается мало наблюдений. Гистограмма становится "рваной", "шумной", и за случайными колебаниями трудно увидеть общую закономерность распределения.
2. Слишком большой шаг (слишком мало групп): Объединяет данные в несколько крупных групп, что сглаживает распределение и ведет к потере важных деталей. Можно пропустить наличие нескольких пиков (мод) или другие особенности формы распределения.
Оптимальный шаг позволяет наглядно представить форму распределения, его центральную тенденцию и разброс данных.

Ответ: Цель выбора шага группировки — найти такую ширину интервала, которая наиболее точно и наглядно отражает структуру данных, избегая как излишней детализации, так и потери важной информации.

Формальные методы расчета

Существует несколько эмпирических формул, помогающих определить либо количество интервалов ($k$), либо непосредственно ширину шага ($h$).

Формулы для определения количества интервалов ($k$):
После нахождения $k$, шаг $h$ можно приблизительно рассчитать как $h \approx \frac{R}{k}$, где $R = x_{max} - x_{min}$ — размах данных.
- Правило квадратного корня: Простое и часто используемое правило. Количество групп примерно равно квадратному корню из числа наблюдений: $k \approx \sqrt{n}$.
- Формула Стерджесса: Одна из самых популярных формул, хорошо работает для симметричных распределений, близких к нормальному, при $n > 30$. $k = 1 + \log_2(n) \approx 1 + 3.322 \cdot \lg(n)$.
- Правило Райса: Предлагает, как правило, большее количество интервалов, чем формула Стерджесса. $k \approx 2\sqrt[3]{n}$.

Формулы для прямого определения шага ($h$):
- Правило Скотта: Рассчитывает шаг на основе стандартного отклонения ($ \sigma $). $h \approx \frac{3.5 \cdot \sigma}{\sqrt[3]{n}}$.
- Правило Фридмана-Дьяконова: Более устойчиво к выбросам в данных, так как использует межквартильный размах ($IQR = Q_3 - Q_1$). $h = 2 \cdot \frac{IQR}{\sqrt[3]{n}}$.

Ответ: Для выбора шага группировки можно использовать формальные методы, такие как формула Стерджесса ($k = 1 + \log_2(n)$) для определения количества групп или правило Фридмана-Дьяконова ($h = 2 \cdot IQR / \sqrt[3]{n}$) для прямого расчета шага, особенно если в данных есть выбросы.

Практический алгоритм

На практике обычно используют комбинацию формальных методов и здравого смысла.

1. Найдите размах данных ($R$). Вычислите $R = x_{max} - x_{min}$.
2. Оцените количество групп ($k$). Используйте одну из формул, например, формулу Стерджесса, чтобы получить ориентировочное число групп.
3. Вычислите предварительный шаг ($h'$). Разделите размах на количество групп: $h' = \frac{R}{k}$.
4. Округлите шаг. Полученное значение $h'$ округлите до удобного, "красивого" числа $h$. Например, если $h' = 9.48$, его можно округлить до $10$. Если $h' = 0.47$, его можно округлить до $0.5$. Это делает границы интервалов и гистограмму в целом более понятными для восприятия.
5. Определите границы интервалов. Начните с минимального значения или с "круглого" числа, которое чуть меньше минимального, и последовательно прибавляйте полученный шаг $h$.
6. Проанализируйте результат. Постройте гистограмму с выбранным шагом. Если она выглядит неудовлетворительно, попробуйте немного изменить шаг в большую или меньшую сторону и посмотрите, как это повлияет на визуальное представление данных.

Ответ: Практический выбор шага группировки сводится к вычислению размаха данных, определению ориентировочного числа групп с помощью формулы (например, Стерджесса), расчету предварительного шага и его округлению до удобного значения с последующей визуальной оценкой результата.

4 Что такое частота попадания в интервал группировки? Чему равна сумма всех частот?

Что такое частота попадания в интервал группировки?

В статистике при работе с большим объемом данных их часто упорядочивают, разбивая на группы (или классы), которые представляют собой числовые интервалы. Частота попадания в интервал группировки (также называемая абсолютной частотой) — это количественный показатель, который указывает, сколько раз значения из исследуемой выборки попали в данный конкретный интервал. По сути, это просто подсчет количества элементов выборки, находящихся в границах определенного интервала.

Например, пусть у нас есть данные о весе 10 яблок в граммах: {155, 162, 158, 171, 165, 175, 168, 172, 166, 178}. Мы можем сгруппировать их по интервалам. Для интервала [160, 170) в него попадают значения: 162, 165, 168, 166. Таким образом, частота попадания в этот интервал равна 4.

Ответ: Частота попадания в интервал группировки — это число, которое показывает, сколько элементов из набора данных принадлежат этому интервалу.

Чему равна сумма всех частот?

При группировке данных вся выборка полностью распределяется по заданным непересекающимся интервалам. Это означает, что каждое значение из выборки попадает ровно в один из этих интервалов. Поэтому, если мы просуммируем частоты всех интервалов, мы фактически пересчитаем все элементы исходной выборки. Таким образом, сумма всех частот всегда равна общему количеству наблюдений в выборке, то есть ее объему.

Если обозначить объем выборки как $N$, количество интервалов как $k$, а частоту каждого $i$-го интервала как $n_i$, то можно записать следующую формулу: $N = n_1 + n_2 + \dots + n_k = \sum_{i=1}^{k} n_i$.

Ответ: Сумма всех частот равна общему числу наблюдений, то есть объему выборки.

5 Что такое гистограмма?

Искать количество значений, попавших в каждый интервал группировки, легко, если научиться пользоваться функцией ЧАСТОТА()

fx = $ЧАСТОТА(C2:D7;E2:E7)$

C D E F

Данные Инт-лы Количество

1,4 1,3 0 0

1,8 2,6 1 0

2,3 3,1 2 5

3,5 2,7 3 5

2,1 1,8 4 2

1,3 2,6 5 0

На рисунке показан пример: сколько значений меньше 0, сколько от 0 до 1, от 1 до 2 и т. д.

Внимание!

Функция ЧАСТОТА находит не частоту, а количество значений в интервалах.

Гистограмма — это один из видов столбчатых диаграмм, который используется для графического представления распределения численных данных. Она наглядно показывает, как часто значения из некоторого набора данных попадают в тот или иной заранее определенный диапазон (интервал).

В отличие от обычной столбчатой диаграммы, где каждый столбец представляет отдельную категорию, в гистограмме столбцы представляют непрерывные интервалы (или "карманы", "бины"). Ширина каждого столбца соответствует величине интервала, а высота — количеству (частоте) значений, попавших в этот интервал. Поскольку интервалы следуют друг за другом непрерывно, столбцы на гистограмме обычно рисуются вплотную друг к другу, подчеркивая непрерывный характер данных.

Построение гистограммы включает несколько шагов:

1. Определение диапазона данных: находят минимальное и максимальное значения в выборке.
2. Разбиение диапазона на интервалы: весь диапазон значений делится на несколько непересекающихся интервалов, как правило, одинаковой ширины.
3. Подсчет частот: для каждого интервала подсчитывается количество данных, которые в него попадают.
4. Построение диаграммы: на горизонтальной оси откладываются интервалы, а на вертикальной — соответствующие им частоты. Высота каждого столбца равна частоте для его интервала.

В примере на изображении показан именно этап подсчета частот с помощью функции ЧАСТОТА() в электронных таблицах, что является подготовительной работой для построения гистограммы.

• Данные: В диапазоне C2:D7 находится массив числовых значений, для которых нужно построить распределение.
• Инт-лы (Интервалы): В столбце E заданы верхние границы интервалов: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это означает, что данные группируются по следующим интервалам: значения, которые меньше или равны 0 ($x \le 0$); значения в интервале от 0 до 1 ($0 < x \le 1$); значения в интервале от 1 до 2 ($1 < x \le 2$) и так далее.
• Количество (частота): Формула =ЧАСТОТА(C2:D7; E2:E7) подсчитывает, сколько значений из массива данных попадает в каждый из заданных интервалов. Например, в ячейке F4 мы видим число 5. Это означает, что 5 значений из исходного набора данных больше 1, но меньше или равны 2. Аналогично, в ячейке F5 также стоит число 5, что соответствует количеству значений в интервале $2 < x \le 3$.

Таким образом, гистограмма, построенная на основе этих данных, будет состоять из столбцов, высота которых будет соответствовать значениям из столбца "Количество". Этот график позволяет визуально оценить форму распределения данных: является ли оно симметричным, скошенным, имеет ли один или несколько пиков (мод). Это мощный инструмент для первичного анализа данных в статистике.

Ответ: Гистограмма — это столбчатая диаграмма, которая показывает распределение частот численных данных. По горизонтальной оси откладываются непрерывные интервалы значений, а по вертикальной — количество данных, попавших в каждый интервал. Она используется для визуализации формы распределения набора данных, его центра, разброса и симметричности.

204 Иван Иванович обещал позвонить Ивану Никифоровичу между 15:00 и 16:00.

Известно, что Иван Иванович всегда держит своё слово. Иван Никифорович ждал звонка, но около половины четвёртого отлучился на 10 минут, забыв взять с собой телефон. Найдите вероятность того, что, когда Иван Иванович позвонил, Иван Никифорович был у телефона.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности. Временной интервал, в течение которого может произойти звонок, является множеством всех возможных исходов.

Иван Иванович обещал позвонить в промежутке времени с 15:00 до 16:00. Общая продолжительность этого интервала составляет $16:00 - 15:00 = 1$ час, или $60$ минут. Обозначим эту общую продолжительность как $T_{общ} = 60$ минут. Мы предполагаем, что звонок может произойти в любой момент этого времени с равной вероятностью.

Иван Никифорович отсутствовал у телефона в течение $10$ минут. Это время является неблагоприятным для приёма звонка. Если звонок поступит в этот период, он будет пропущен. Продолжительность неблагоприятного времени $T_{небл} = 10$ минут. Из условия, что он отлучился "около половины четвертого", следует, что этот 10-минутный интервал полностью находится внутри общего часового промежутка с 15:00 до 16:00.

Следовательно, время, когда Иван Никифорович был у телефона и мог ответить на звонок, является благоприятным исходом. Продолжительность благоприятного времени $T_{бл}$ можно рассчитать как разность между общей продолжительностью и временем отсутствия:$T_{бл} = T_{общ} - T_{небл} = 60 \text{ минут} - 10 \text{ минут} = 50 \text{ минут}$.

Вероятность $P$ того, что Иван Никифорович был у телефона, когда ему позвонили, равна отношению длительности благоприятного интервала времени к длительности общего интервала:$P = \frac{T_{бл}}{T_{общ}} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

205 Из отрезка $[0; 1]$ случайным образом независимо друг от друга выбираются два числа $x$ и $y$. Найдите вероятность того, что:

а) $x < \frac{1}{2}, y < \frac{1}{2};$

б) $x > 0.7, y < 0.4;$

в) $0.2 < x < 0.8, 0.3 < y < 0.5;$

г) $x < 1, y > 0.4.$

а) $x < \frac{1}{2}, y < \frac{1}{2}$

Поскольку числа $x$ и $y$ выбираются независимо и случайным образом из отрезка $[0, 1]$, мы имеем дело с равномерным распределением. Вероятность того, что случайная величина попадёт в некоторый подинтервал, равна длине этого подинтервала. Вероятность совместного выполнения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Вероятность того, что $x < \frac{1}{2}$, соответствует длине интервала $[0, \frac{1}{2})$, которая равна $P(x < \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Аналогично, вероятность того, что $y < \frac{1}{2}$, равна $P(y < \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Искомая вероятность равна произведению этих вероятностей: $P(x < \frac{1}{2}, y < \frac{1}{2}) = P(x < \frac{1}{2}) \times P(y < \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Ответ: $0,25$.

б) $x > 0,7, y < 0,4$

Находим вероятности для каждой переменной, которые равны длинам соответствующих интервалов.

Вероятность для $x$: $P(x > 0,7)$ соответствует интервалу $(0,7; 1]$, его длина равна $1 - 0,7 = 0,3$.

Вероятность для $y$: $P(y < 0,4)$ соответствует интервалу $[0; 0,4)$, его длина равна $0,4 - 0 = 0,4$.

Поскольку события независимы, искомая вероятность равна произведению их вероятностей: $P(x > 0,7, y < 0,4) = P(x > 0,7) \times P(y < 0,4) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$.

Ответ: $0,12$.

в) $0,2 < x < 0,8, 0,3 < y < 0,5$

Находим вероятности для каждой переменной как длины соответствующих интервалов.

Вероятность для $x$: $P(0,2 < x < 0,8) = 0,8 - 0,2 = 0,6$.

Вероятность для $y$: $P(0,3 < y < 0,5) = 0,5 - 0,3 = 0,2$.

Искомая вероятность равна произведению вероятностей независимых событий: $P(0,2 < x < 0,8, 0,3 < y < 0,5) = P(0,2 < x < 0,8) \times P(0,3 < y < 0,5) = 0,6 \times 0,2 = 0,12$.

Ответ: $0,12$.

г) $x < 1, y > 0,4$

Находим вероятности для каждой переменной как длины соответствующих интервалов.

Вероятность для $x$: $P(x < 1)$ соответствует интервалу $[0; 1)$, его длина равна $1 - 0 = 1$.

Вероятность для $y$: $P(y > 0,4)$ соответствует интервалу $(0,4; 1]$, его длина равна $1 - 0,4 = 0,6$.

Искомая вероятность равна произведению вероятностей: $P(x < 1, y > 0,4) = P(x < 1) \times P(y > 0,4) = 1 \times 0,6 = 0,6$.

Ответ: $0,6$.

206 В самом начале поэмы Н. В. Гоголя «Мёртвые души» два мужика спорят относительно того, как далеко доедет колесо в экипаже Чичикова:

«...Два русских мужика, стоявшие у дверей кабака против гостиницы, сделали кое-какие замечания, относившиеся впрочем более к экипажу, чем к сидевшему в нём. «Вишь ты», сказал один другому: «вон какое колесо! Что ты думаешь, доедет то колесо, если б случилось, в Москву, или не доедет?» — «Доедет», — отвечал другой. «А в Казань-то, я думаю, не доедет?» — «В Казань не доедет», — отвечал другой».

Предположим, что путь от упомянутой гостиницы в Казань ведёт через Москву и что до Москвы 140 вёрст, а от Москвы до Казани ещё 760 вёрст. Будем считать, что колесо обязательно сломается, причём это может случиться в любой момент на пути от гостиницы до Казани. Найдите вероятность того, что:

a) колесо доедет до Москвы, как и предполагают мужики;

б) колесо не доедет даже до Москвы.

Для решения этой задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. По условию, поломка колеса — это случайное событие, которое может произойти в любой момент на всём пути от гостиницы до Казани. Это означает, что точка поломки равномерно распределена по всей длине пути.

Сначала найдём общую длину пути. Путь состоит из двух участков:
1. От гостиницы до Москвы: 140 вёрст.
2. От Москвы до Казани: 760 вёрст.

Общая длина пути $S_{общ}$ равна сумме длин этих участков:
$S_{общ} = 140 \text{ вёрст} + 760 \text{ вёрст} = 900 \text{ вёрст}$.

Весь путь можно представить как отрезок длиной 900 единиц. Поломка может произойти в любой точке этого отрезка. Вероятность того, что поломка произойдёт на определённом участке пути, равна отношению длины этого участка к общей длине всего пути.

а) колесо доедет до Москвы, как и предполагают мужики;

Событие "колесо доедет до Москвы" означает, что оно сломается где-то на участке пути после Москвы, то есть на отрезке от Москвы до Казани. Длина этого участка составляет 760 вёрст.

Вероятность этого события $P(A)$ равна отношению длины благоприятного участка (от Москвы до Казани) к общей длине пути:
$P(A) = \frac{\text{длина пути от Москвы до Казани}}{\text{общая длина пути}} = \frac{760}{900}$

Сократим полученную дробь:
$\frac{760}{900} = \frac{76}{90} = \frac{38}{45}$

Ответ: $\frac{38}{45}$

б) колесо не доедет даже до Москвы.

Событие "колесо не доедет даже до Москвы" означает, что оно сломается где-то на участке пути до Москвы, то есть на отрезке от гостиницы до Москвы. Длина этого участка составляет 140 вёрст.

Вероятность этого события $P(Б)$ равна отношению длины этого участка к общей длине пути:
$P(Б) = \frac{\text{длина пути от гостиницы до Москвы}}{\text{общая длина пути}} = \frac{140}{900}$

Сократим дробь:
$\frac{140}{900} = \frac{14}{90} = \frac{7}{45}$

Заметим, что это событие является противоположным событию из пункта а) (колесо либо доедет до Москвы, либо не доедет, так как оно обязательно сломается). Поэтому можно было найти эту вероятность и другим способом:
$P(Б) = 1 - P(A) = 1 - \frac{38}{45} = \frac{45 - 38}{45} = \frac{7}{45}$

Ответ: $\frac{7}{45}$

207 Из отрезка $[0; 1]$ случайным образом выбирается число $x$. Найдите вероятность того, что:

а) $x^2 < 0,25$;

б) $x^2 \ge 0,09$.

Данная задача относится к задачам на геометрическую вероятность. Так как число $x$ выбирается случайным образом из отрезка $[0; 1]$, то пространство элементарных исходов представляет собой этот отрезок. Его длина, или мера, равна $L_{total} = 1 - 0 = 1$.

Вероятность события $A$ вычисляется как отношение длины отрезка, соответствующего благоприятным исходам ($L_{fav}$), к длине всего отрезка ($L_{total}$):

$P(A) = \frac{L_{fav}}{L_{total}}$

а) $x^2 < 0,25$

Сначала решим неравенство $x^2 < 0,25$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $|x| < \sqrt{0,25}$, что равносильно $|x| < 0,5$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-0,5 < x < 0,5$.

По условию задачи, число $x$ выбирается из отрезка $[0; 1]$. Следовательно, мы должны найти пересечение решения неравенства $(-0,5; 0,5)$ с отрезком $[0; 1]$.

Общей частью этих двух множеств является полуинтервал $[0; 0,5)$.

Длина этого интервала (множества благоприятных исходов) равна $L_{fav} = 0,5 - 0 = 0,5$.

Теперь найдем вероятность:

$P(x^2 < 0,25) = \frac{L_{fav}}{L_{total}} = \frac{0,5}{1} = 0,5$.

Ответ: 0,5

б) $x^2 \ge 0,09$

Сначала решим неравенство $x^2 \ge 0,09$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $|x| \ge \sqrt{0,09}$, что равносильно $|x| \ge 0,3$.

Это неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств: $x \ge 0,3$ или $x \le -0,3$.

По условию задачи, число $x$ выбирается из отрезка $[0; 1]$. Найдем пересечение решения $x \in (-\infty; -0,3] \cup [0,3; +\infty)$ с отрезком $[0; 1]$.

Часть решения $x \le -0,3$ не пересекается с отрезком $[0; 1]$.

Часть решения $x \ge 0,3$ при пересечении с отрезком $[0; 1]$ дает отрезок $[0,3; 1]$.

Длина этого отрезка (множества благоприятных исходов) равна $L_{fav} = 1 - 0,3 = 0,7$.

Теперь найдем вероятность:

$P(x^2 \ge 0,09) = \frac{L_{fav}}{L_{total}} = \frac{0,7}{1} = 0,7$.

Ответ: 0,7

208 Из отрезка $[2; 5]$ случайным образом выбирается отрезок $[a; b]$ длины 1.

Найдите вероятность события:

а) $a < 3$;

б) $b < 4$;

в) «середина отрезка $[a; b]$ заключена между числами 3 и 4»;

г) «середина отрезка $[a; b]$ заключена между числами 2,5 и 4,5».

По условию задачи, из отрезка $[2; 5]$ случайным образом выбирается отрезок $[a; b]$ длины 1. Это задача на геометрическую вероятность.

Длина отрезка $[a; b]$ равна 1, следовательно, $b - a = 1$, или $b = a + 1$.

Так как отрезок $[a; b]$ должен полностью содержаться в отрезке $[2; 5]$, должны выполняться два условия: $a \ge 2$ и $b \le 5$.

Подставим $b = a + 1$ во второе неравенство:

$a + 1 \le 5$

$a \le 4$

Таким образом, начало отрезка, точка $a$, может принимать любое значение из отрезка $[2; 4]$. Положение отрезка $[a; b]$ однозначно определяется его начальной точкой $a$.

Пространством элементарных исходов является отрезок $[2; 4]$, длина которого $L = 4 - 2 = 2$. Вероятность события будем находить как отношение длины отрезка благоприятных исходов к общей длине $L$.