Номер 3, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Как выбрать подходящий шаг группировки?

Выбор подходящего шага группировки (ширины интервала) является ключевым этапом при анализе данных, построении гистограмм и таблиц частот. Неправильный выбор может исказить представление о характере распределения данных. Основная задача — найти баланс между излишней детализацией и чрезмерным обобщением.

Основные принципы и компромиссы

Выбор шага — это всегда компромисс:
1. Слишком маленький шаг (слишком много групп): Приводит к созданию большого числа интервалов, в каждом из которых оказывается мало наблюдений. Гистограмма становится "рваной", "шумной", и за случайными колебаниями трудно увидеть общую закономерность распределения.
2. Слишком большой шаг (слишком мало групп): Объединяет данные в несколько крупных групп, что сглаживает распределение и ведет к потере важных деталей. Можно пропустить наличие нескольких пиков (мод) или другие особенности формы распределения.
Оптимальный шаг позволяет наглядно представить форму распределения, его центральную тенденцию и разброс данных.

Ответ: Цель выбора шага группировки — найти такую ширину интервала, которая наиболее точно и наглядно отражает структуру данных, избегая как излишней детализации, так и потери важной информации.

Формальные методы расчета

Существует несколько эмпирических формул, помогающих определить либо количество интервалов ($k$), либо непосредственно ширину шага ($h$).

Формулы для определения количества интервалов ($k$):
После нахождения $k$, шаг $h$ можно приблизительно рассчитать как $h \approx \frac{R}{k}$, где $R = x_{max} - x_{min}$ — размах данных.
- Правило квадратного корня: Простое и часто используемое правило. Количество групп примерно равно квадратному корню из числа наблюдений: $k \approx \sqrt{n}$.
- Формула Стерджесса: Одна из самых популярных формул, хорошо работает для симметричных распределений, близких к нормальному, при $n > 30$. $k = 1 + \log_2(n) \approx 1 + 3.322 \cdot \lg(n)$.
- Правило Райса: Предлагает, как правило, большее количество интервалов, чем формула Стерджесса. $k \approx 2\sqrt[3]{n}$.

Формулы для прямого определения шага ($h$):
- Правило Скотта: Рассчитывает шаг на основе стандартного отклонения ($ \sigma $). $h \approx \frac{3.5 \cdot \sigma}{\sqrt[3]{n}}$.
- Правило Фридмана-Дьяконова: Более устойчиво к выбросам в данных, так как использует межквартильный размах ($IQR = Q_3 - Q_1$). $h = 2 \cdot \frac{IQR}{\sqrt[3]{n}}$.

Ответ: Для выбора шага группировки можно использовать формальные методы, такие как формула Стерджесса ($k = 1 + \log_2(n)$) для определения количества групп или правило Фридмана-Дьяконова ($h = 2 \cdot IQR / \sqrt[3]{n}$) для прямого расчета шага, особенно если в данных есть выбросы.

Практический алгоритм

На практике обычно используют комбинацию формальных методов и здравого смысла.

1. Найдите размах данных ($R$). Вычислите $R = x_{max} - x_{min}$.
2. Оцените количество групп ($k$). Используйте одну из формул, например, формулу Стерджесса, чтобы получить ориентировочное число групп.
3. Вычислите предварительный шаг ($h'$). Разделите размах на количество групп: $h' = \frac{R}{k}$.
4. Округлите шаг. Полученное значение $h'$ округлите до удобного, "красивого" числа $h$. Например, если $h' = 9.48$, его можно округлить до $10$. Если $h' = 0.47$, его можно округлить до $0.5$. Это делает границы интервалов и гистограмму в целом более понятными для восприятия.
5. Определите границы интервалов. Начните с минимального значения или с "круглого" числа, которое чуть меньше минимального, и последовательно прибавляйте полученный шаг $h$.
6. Проанализируйте результат. Постройте гистограмму с выбранным шагом. Если она выглядит неудовлетворительно, попробуйте немного изменить шаг в большую или меньшую сторону и посмотрите, как это повлияет на визуальное представление данных.

Ответ: Практический выбор шага группировки сводится к вычислению размаха данных, определению ориентировочного числа групп с помощью формулы (например, Стерджесса), расчету предварительного шага и его округлению до удобного значения с последующей визуальной оценкой результата.