Номер 101, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

101 Пусть число $m$ является медианой числового набора. Покажите, что сумма частот всех чисел набора, которые не больше $m$, не меньше чем $0.5$.

Пусть дан числовой набор, состоящий из $n$ элементов. Упорядочим элементы этого набора по неубыванию: $x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)}$.

Медиана $m$ этого набора — это число, которое характеризует его середину. Сумма частот всех чисел набора, которые не больше $m$, определяется как отношение количества таких чисел ($N_{\le m}$) к общему числу элементов $n$. Нам необходимо доказать, что сумма частот $\frac{N_{\le m}}{n} \ge 0.5$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности общего числа элементов $n$.

1. Число элементов $n$ нечетно.
В этом случае можно записать $n = 2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Медианой $m$ является элемент, стоящий в середине упорядоченного ряда, то есть элемент с номером $k+1$:$m = x_{(k+1)}$.Поскольку элементы набора упорядочены по неубыванию, то все элементы с 1-го по (k+1)-й включительно не больше, чем $x_{(k+1)}$. Это означает, что $x_{(i)} \le m$ для всех $i$ от 1 до $k+1$.Следовательно, количество элементов, которые не больше медианы, $N_{\le m}$, составляет как минимум $k+1$.Сумма частот этих элементов не меньше, чем:$\frac{N_{\le m}}{n} \ge \frac{k+1}{n} = \frac{k+1}{2k+1}$.Проверим, выполняется ли требуемое неравенство:$\frac{k+1}{2k+1} \ge 0.5 \iff 2(k+1) \ge 1(2k+1) \iff 2k+2 \ge 2k+1 \iff 2 \ge 1$.Это неравенство верно, значит, утверждение для нечетного $n$ доказано.

2. Число элементов $n$ четно.
В этом случае можно записать $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Медиана $m$ по определению равна среднему арифметическому двух центральных элементов, т.е. элементов с номерами $k$ и $k+1$:$m = \frac{x_{(k)} + x_{(k+1)}}{2}$.Так как набор упорядочен, то $x_{(k)} \le x_{(k+1)}$. Из этого следует, что медиана не меньше, чем $k$-й элемент:$m = \frac{x_{(k)} + x_{(k+1)}}{2} \ge \frac{x_{(k)} + x_{(k)}}{2} = x_{(k)}$.Поскольку все первые $k$ элементов ряда ($x_{(1)}, x_{(2)}, \dots, x_{(k)}$) не превосходят $x_{(k)}$, они также не превосходят и медиану $m$.Таким образом, количество элементов, которые не больше медианы, $N_{\le m}$, составляет как минимум $k$.Сумма частот этих элементов не меньше, чем:$\frac{N_{\le m}}{n} \ge \frac{k}{n} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} = 0.5$.Следовательно, утверждение для четного $n$ также доказано.

Поскольку утверждение верно для обоих случаев (четного и нечетного числа элементов), оно доказано для любого числового набора.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма частот всех чисел набора, которые не больше медианы, всегда не меньше 0,5. Это является прямым следствием определения медианы, которая по своей сути делит упорядоченный набор данных таким образом, что по меньшей мере половина элементов не больше ее, а по меньшей мере половина — не меньше.