Номер 4, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Как найти среднее значение числового набора, зная различные значения и их частоты?

В редакторах электронных таблиц можно быстро вычислить сумму произведений значений и их частот. Для этого есть функция СУММПРОИЗВ()

В поле формул: fx =СУММПРОИЗВ(D2:G2;D3:G3)

Значение: 2, 3, 4, 5

Частота: 0,1, 0,3, 0,45, 0,15

Среднее: 3,65

На рисунке показано решение задачи из примера 3.

Чтобы найти среднее значение числового набора, зная различные значения и их частоты, необходимо найти среднее арифметическое взвешенное. Для этого нужно каждое значение умножить на его частоту, а затем сложить все полученные произведения.

Если даны абсолютные частоты (т. е. количество раз, которое встречается каждое значение), то полученную сумму нужно разделить на общее количество элементов (т. е. на сумму всех частот). Формула выглядит так:
$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$

Если же даны относительные частоты (доли), как в примере на изображении, их сумма всегда равна 1. В этом случае полученную сумму произведений делить не нужно, так как деление на 1 не меняет результат. Формула упрощается:
$\bar{x} = x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k = \sum x_i f_i$

Рассмотрим пример из изображения:
Даны значения: 2, 3, 4, 5.
Их относительные частоты: 0,1; 0,3; 0,45; 0,15.
Сумма частот: $0,1 + 0,3 + 0,45 + 0,15 = 1$.

Вычисляем среднее значение как сумму произведений значений на их частоты:
Среднее = $(2 \cdot 0,1) + (3 \cdot 0,3) + (4 \cdot 0,45) + (5 \cdot 0,15) = 0,2 + 0,9 + 1,8 + 0,75 = 3,65$.

В электронных таблицах эту операцию удобно выполнять с помощью функции СУММПРОИЗВ() (в английской версии SUMPRODUCT()), которая вычисляет сумму произведений соответствующих элементов в указанных диапазонах. Формула =СУММПРОИЗВ(D2:G2;D3:G3) как раз и реализует этот расчет.

Ответ: Нужно вычислить сумму произведений каждого значения на его частоту. Если частоты относительные (их сумма равна 1), эта сумма и является средним значением. Если частоты абсолютные, то полученную сумму нужно дополнительно разделить на сумму всех частот.