Страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Чему равны частоты значений в наборе, где 10 различных значений, но каждое встречается ровно один раз?

1 Частота, или абсолютная частота, — это показатель того, сколько раз конкретное значение появляется в наборе данных.

Согласно условию задачи, мы имеем набор данных со следующими характеристиками:

1. В наборе 10 различных (уникальных) значений.

2. Каждое из этих значений встречается ровно один раз.

Исходя из определения, частота каждого значения — это и есть количество его повторений. Так как каждое значение встречается только один раз, то частота каждого из 10 значений равна 1.

Дополнительно можно определить относительную частоту. Это отношение абсолютной частоты к общему числу элементов в наборе.

Общее число элементов в наборе $N$ составляет 10, так как у нас 10 уникальных значений, каждое из которых встречается 1 раз ($10 \times 1 = 10$).

Абсолютная частота $k$ для каждого значения равна 1.

Относительная частота $f$ для каждого значения вычисляется по формуле: $f = \frac{k}{N} = \frac{1}{10} = 0.1$

Однако, поскольку в вопросе используется термин "частоты" без уточнений, имеется в виду абсолютная частота.

Ответ: частота каждого из 10 значений равна 1.

2 Сформулируйте определение частоты значения.

Частота значения (или абсолютная частота) в статистическом ряду данных — это величина, которая показывает, сколько раз данное конкретное значение встречается в исследуемой совокупности (выборке).

Например, если в классе ученики получили следующие оценки по математике: 5, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 2, 4, то частота оценки "5" равна 4 (так как она встречается 4 раза), а частота оценки "4" также равна 4.

В статистике, кроме абсолютной, часто используют относительную частоту. Это отношение абсолютной частоты значения к общему числу всех данных в выборке. Относительная частота показывает, какую долю от общего числа наблюдений составляет данное значение, и обычно выражается в виде десятичной дроби или в процентах.

Формула для расчета относительной частоты $W$:

$W = \frac{m}{n}$

где $m$ — это абсолютная частота значения, а $n$ — это общее количество значений в выборке (объем выборки).

В примере с оценками общее число оценок $n=10$. Относительная частота для оценки "5" будет равна $\frac{4}{10} = 0.4$, или 40%.

Ответ: Частота значения – это число, показывающее, сколько раз это значение встречается в наборе данных.

3 Сформулируйте свойство частот.

В статистике рассматривают два вида частот: абсолютную и относительную. Для каждой из них существует свое основное свойство, которое описывает, чему равна сумма всех частот в наборе данных.

Свойство абсолютных частот

Абсолютная частота (или просто частота) — это число, показывающее, сколько раз определенное значение (вариант) встречается в совокупности данных (выборке). Свойство заключается в том, что сумма абсолютных частот всех наблюдаемых значений равна общему объему выборки.

Если у нас есть выборка объемом $N$ и в ней встречаются $k$ различных вариантов с абсолютными частотами $n_1, n_2, \ldots, n_k$ соответственно, то:

$ n_1 + n_2 + \ldots + n_k = \sum_{i=1}^{k} n_i = N $

Свойство относительных частот

Относительная частота — это отношение абсолютной частоты значения к общему объему выборки. Она показывает долю (часть) каждого значения в общей совокупности. Свойство заключается в том, что сумма относительных частот всех наблюдаемых значений всегда равна 1 (или 100%, если частоты выражены в процентах).

Относительная частота $W_i$ для i-го значения вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{N}$. Тогда сумма всех относительных частот будет:

$ W_1 + W_2 + \ldots + W_k = \sum_{i=1}^{k} W_i = \sum_{i=1}^{k} \frac{n_i}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i = \frac{N}{N} = 1 $

Данные свойства являются фундаментальными и используются для контроля правильности расчетов и составления частотных таблиц.

Ответ: Сумма абсолютных частот всех вариантов равна объему выборки; сумма относительных частот всех вариантов равна 1 (или 100%).

4 Как найти среднее значение числового набора, зная различные значения и их частоты?

В редакторах электронных таблиц можно быстро вычислить сумму произведений значений и их частот. Для этого есть функция СУММПРОИЗВ()

В поле формул: fx =СУММПРОИЗВ(D2:G2;D3:G3)

Значение: 2, 3, 4, 5

Частота: 0,1, 0,3, 0,45, 0,15

Среднее: 3,65

На рисунке показано решение задачи из примера 3.

Чтобы найти среднее значение числового набора, зная различные значения и их частоты, необходимо найти среднее арифметическое взвешенное. Для этого нужно каждое значение умножить на его частоту, а затем сложить все полученные произведения.

Если даны абсолютные частоты (т. е. количество раз, которое встречается каждое значение), то полученную сумму нужно разделить на общее количество элементов (т. е. на сумму всех частот). Формула выглядит так:
$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$

Если же даны относительные частоты (доли), как в примере на изображении, их сумма всегда равна 1. В этом случае полученную сумму произведений делить не нужно, так как деление на 1 не меняет результат. Формула упрощается:
$\bar{x} = x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k = \sum x_i f_i$

Рассмотрим пример из изображения:
Даны значения: 2, 3, 4, 5.
Их относительные частоты: 0,1; 0,3; 0,45; 0,15.
Сумма частот: $0,1 + 0,3 + 0,45 + 0,15 = 1$.

Вычисляем среднее значение как сумму произведений значений на их частоты:
Среднее = $(2 \cdot 0,1) + (3 \cdot 0,3) + (4 \cdot 0,45) + (5 \cdot 0,15) = 0,2 + 0,9 + 1,8 + 0,75 = 3,65$.

В электронных таблицах эту операцию удобно выполнять с помощью функции СУММПРОИЗВ() (в английской версии SUMPRODUCT()), которая вычисляет сумму произведений соответствующих элементов в указанных диапазонах. Формула =СУММПРОИЗВ(D2:G2;D3:G3) как раз и реализует этот расчет.

Ответ: Нужно вычислить сумму произведений каждого значения на его частоту. Если частоты относительные (их сумма равна 1), эта сумма и является средним значением. Если частоты абсолютные, то полученную сумму нужно дополнительно разделить на сумму всех частот.

96 Дан числовой набор 5, 4, 8, 1, 1, 3, 4, 5, 8, 1. Найдите частоту:

а) значения 1;

б) значения 4.

Для решения задачи необходимо определить, сколько раз каждое из указанных значений встречается в данном числовом наборе. Это и будет их частотой (или абсолютной частотой).

Исходный числовой набор: 5, 4, 8, 1, 1, 3, 4, 5, 8, 1.

а) значения 1;

Подсчитаем, сколько раз число 1 появляется в наборе. Выделим его в последовательности:
5, 4, 8, 1, 1, 3, 4, 5, 8, 1.
Число 1 встречается 3 раза.
Ответ: 3

б) значения 4.

Подсчитаем, сколько раз число 4 появляется в наборе. Выделим его в последовательности:
5, 4, 8, 1, 1, 3, 4, 5, 8, 1.
Число 4 встречается 2 раза.
Ответ: 2

97 Дана последовательность букв: ФАВЫДОВЛЫДЯЮФЛЧЛИОЫДССОЫЖФ.

Найдите в этой последовательности частоту:

а) буквы Д;

б) буквы Ф;

в) буквы Ы;

г) буквы С.

Для того чтобы найти частоту появления буквы в последовательности, необходимо разделить количество раз, которое эта буква встречается, на общее число букв в этой последовательности.

Исходная последовательность: ФАВЫДОВЛДЫЯЮФЛЧЛИОЫДСОЫЖФ.

Сначала подсчитаем общее количество букв в последовательности. Всего в ней 25 букв. Обозначим это общее число как $N = 25$.

а) буквы Д;
Подсчитаем, сколько раз буква Д встречается в данной последовательности. Буква Д встречается 3 раза. Обозначим это количество как $m_Д = 3$. Частота появления буквы Д равна отношению числа ее появлений к общему числу букв: $P(Д) = \frac{m_Д}{N} = \frac{3}{25} = 0,12$.
Ответ: $\frac{3}{25}$

б) буквы Ф;
Подсчитаем, сколько раз буква Ф встречается в последовательности. Буква Ф встречается 3 раза. Обозначим это количество как $m_Ф = 3$. Частота появления буквы Ф равна: $P(Ф) = \frac{m_Ф}{N} = \frac{3}{25} = 0,12$.
Ответ: $\frac{3}{25}$

в) буквы Ы;
Подсчитаем, сколько раз буква Ы встречается в последовательности. Буква Ы встречается 4 раза. Обозначим это количество как $m_Ы = 4$. Частота появления буквы Ы равна: $P(Ы) = \frac{m_Ы}{N} = \frac{4}{25} = 0,16$.
Ответ: $\frac{4}{25}$

г) буквы С.
Подсчитаем, сколько раз буква С встречается в последовательности. Буква С встречается 1 раз. Обозначим это количество как $m_С = 1$. Частота появления буквы С равна: $P(С) = \frac{m_С}{N} = \frac{1}{25} = 0,04$.
Ответ: $\frac{1}{25}$

98 В числовом наборе 5 значений. Частоты четырёх значений известны: 0,35, 0,2, 0,1 и 0,05. Найдите частоту пятого значения.

По определению, сумма частот всех значений в наборе данных всегда равна 1. В условии задачи дано 5 значений, и известны частоты четырех из них. Обозначим неизвестную частоту пятого значения как $x$.

Сумма всех частот должна равняться 1:

$0,35 + 0,2 + 0,1 + 0,05 + x = 1$

Сначала вычислим сумму известных частот:

$0,35 + 0,2 + 0,1 + 0,05 = 0,7$

Теперь подставим полученное значение в исходное уравнение:

$0,7 + x = 1$

Чтобы найти $x$, вычтем 0,7 из обеих частей уравнения:

$x = 1 - 0,7$

$x = 0,3$

Следовательно, частота пятого значения равна 0,3.

Ответ: 0,3

99 В таблице 14 (с. 16) даны четвертные оценки учащихся класса.

а) Найдите частоты различных четвертных оценок по математике. Составьте таблицу значений и частот.

б) Вычислите среднюю оценку по математике за четверть.

Поскольку таблица 14 с оценками учащихся не предоставлена, для решения задачи воспользуемся гипотетическим набором данных. Предположим, что в классе 25 учеников, и их четвертные оценки по математике распределились следующим образом:

5, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 4, 3, 4.

а) Найдите частоты различных четвертных оценок по математике. Составьте таблицу значений и частот.

Частота — это количество повторений определенного значения (оценки) в ряду данных. Чтобы найти частоты, необходимо подсчитать, сколько раз каждая оценка встречается в приведенном списке.

• Оценка «2» встречается 1 раз.
• Оценка «3» встречается 6 раз.
• Оценка «4» встречается 12 раз.
• Оценка «5» встречается 6 раз.

Для проверки можно сложить все частоты. Общее количество оценок: $1 + 6 + 12 + 6 = 25$, что совпадает с количеством учеников в классе.

Теперь составим таблицу значений и соответствующих им частот:

Ответ: Частоты оценок: «2» – 1, «3» – 6, «4» – 12, «5» – 6. Таблица значений и частот представлена выше.

б) Вычислите среднюю оценку по математике за четверть.

Средняя оценка (среднее арифметическое) вычисляется как сумма всех оценок, деленная на их общее количество. Для удобства вычислений, когда данные сгруппированы по частотам, используется формула среднего взвешенного:

$ \text{Средняя оценка} = \frac{x_1 \cdot f_1 + x_2 \cdot f_2 + \dots + x_n \cdot f_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n} $

где $x_i$ — это значение оценки, а $f_i$ — её частота.

Сначала найдем сумму всех оценок, умножая каждую оценку на её частоту:

Сумма = $(2 \cdot 1) + (3 \cdot 6) + (4 \cdot 12) + (5 \cdot 6) = 2 + 18 + 48 + 30 = 98$.

Общее количество оценок (сумма частот) равно 25.

Теперь разделим сумму всех оценок на их количество, чтобы найти среднюю оценку:

$ \text{Средняя оценка} = \frac{98}{25} = 3.92 $

Ответ: Средняя оценка по математике за четверть составляет 3,92.