Страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

162 У вахтёра в комнате доска с крючками. Всего 12 крючков, а на них 12 ключей. Доска упала и ключи рассыпались. Вахтёр собрал ключи и развесил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что:

а) каждый ключ висит на своём крючке;

б) хотя бы один ключ висит не на своём крючке;

в) два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках;

г) ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих.

а) каждый ключ висит на своём крючке

Общее число возможных способов развесить 12 ключей на 12 крючков равно числу перестановок из 12 элементов. Это общее число равновозможных исходов $N$.

$N = P_{12} = 12!$

$12! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 = 479001600$

Событие, при котором каждый ключ висит на своём крючке, соответствует только одному единственному исходу. Таким образом, число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность этого события $P(A)$ вычисляется по классической формуле вероятности:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{1}{12!}$

Ответ: $ \frac{1}{12!} = \frac{1}{479001600} $.

б) хотя бы один ключ висит не на своём крючке

Событие «хотя бы один ключ висит не на своём крючке» (событие $B$) является противоположным событию «каждый ключ висит на своём крючке» (событие $A$ из пункта а).

Вероятность противоположного события равна $1$ минус вероятность исходного события:

$P(B) = P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Используя результат из пункта а), получаем:

$P(B) = 1 - \frac{1}{12!} = \frac{12! - 1}{12!} = \frac{479001599}{479001600}$

Ответ: $ 1 - \frac{1}{12!} = \frac{479001599}{479001600} $.

в) два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках

Общее число возможных исходов по-прежнему составляет $N = 12!$.

Рассмотрим событие $C$, когда два определённых ключа (например, ключ 1 и ключ 2) поменялись местами, а остальные 10 ключей (с 3 по 12) остались на своих правильных крючках.

Это означает, что ключ 1 висит на крючке 2, ключ 2 — на крючке 1, а все остальные ключи $k$ висят на своих крючках $k$. Такое расположение ключей является одной конкретной перестановкой из всех $12!$ возможных.

Следовательно, число благоприятных исходов для этого события $m=1$.

Вероятность этого события равна:

$P(C) = \frac{m}{N} = \frac{1}{12!}$

Ответ: $ \frac{1}{12!} = \frac{1}{479001600} $.

г) ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих

Рассмотрим событие $D$, когда ровно один ключ висит не на своём месте.

Предположим, что ключ $k$ — единственный, который висит не на своём крючке $k$. Это означает, что он должен висеть на каком-то другом крючке, например, на крючке $j$ (где $j \neq k$).

По условию, все остальные ключи, включая ключ $j$, должны висеть на своих местах. Значит, ключ $j$ должен висеть на крючке $j$.

Однако крючок $j$ уже занят ключом $k$. Это создаёт противоречие, так как на одном крючке не может висеть два ключа. Если же ключ $k$ занял место ключа $j$, то ключ $j$ тоже не может быть на своём месте, что противоречит условию "ровно один ключ висит не на своём крючке".

Следовательно, ситуация, когда ровно один ключ висит не на своём месте, невозможна. Это невозможное событие, и число благоприятных ему исходов равно $m=0$.

Вероятность невозможного события равна нулю.

$P(D) = \frac{0}{12!} = 0$

Ответ: $ 0 $.

163 Слово «АПЕЛЬСИН» написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Девочка, играя, выложила буквы в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что получилось слово «СПАНИЕЛЬ».

Для решения задачи по теории вероятностей воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Исходное слово «АПЕЛЬСИН» состоит из 8 различных букв: А, П, Е, Л, Ь, С, И, Н.

1. Найдем общее число возможных исходов (n).

Девочка выкладывает эти 8 букв в случайном порядке. Общее число способов, которыми можно расположить 8 различных букв, равно числу перестановок из 8 элементов. Это значение вычисляется как факториал числа 8.

$n = P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$.

Таким образом, существует 40320 различных слов, которые можно составить из данных букв.

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Благоприятным исходом является получение слова «СПАНИЕЛЬ». Сначала убедимся, что это слово можно составить из букв слова «АПЕЛЬСИН».

Буквы слова «АПЕЛЬСИН»: {А, П, Е, Л, Ь, С, И, Н}.

Буквы слова «СПАНИЕЛЬ»: {С, П, А, Н, И, Е, Л, Ь}.

Наборы букв идентичны. Так как все буквы в наборе уникальны, существует только один способ расположить их в порядке, образующем слово «СПАНИЕЛЬ».

Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

3. Рассчитаем вероятность.

Вероятность $P$ того, что получится слово «СПАНИЕЛЬ», равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{40320}$.

Ответ: $\frac{1}{40320}$.

164 Найдите вероятность того, что среди последних четырёх цифр случайного семизначного телефонного номера есть ровно одна цифра 1 и ровно одна цифра 7.

Для решения задачи определим общее число возможных исходов и число благоприятных исходов.

1. Найдём общее число исходов.
Мы рассматриваем последние четыре цифры телефонного номера. Каждая из этих четырёх цифр может быть любой из десяти цифр от 0 до 9. Поскольку выбор каждой цифры является независимым событием, общее число всех возможных комбинаций для последних четырёх цифр ($N$) равно произведению числа вариантов для каждой позиции:$N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000$.Таким образом, существует 10 000 равновероятных исходов.

2. Найдём число благоприятных исходов.
Благоприятный исход — это комбинация из четырёх цифр, в которой ровно одна цифра 1 и ровно одна цифра 7.Подсчитаем количество таких комбинаций ($M$) поэтапно:

• Шаг 1: Размещение цифр 1 и 7. Нужно выбрать две позиции для цифр 1 и 7 из четырёх доступных. Сначала выберем позицию для цифры 1. Это можно сделать 4 способами. После этого для цифры 7 останется 3 свободные позиции, то есть её можно разместить 3 способами. Общее число способов разместить цифры 1 и 7 составляет $4 \times 3 = 12$ способов. Это же число можно найти с помощью формулы для размещений (порядок важен): $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{24}{2} = 12$.
• Шаг 2: Заполнение оставшихся позиций. Остались две незаполненные позиции. На эти места нельзя ставить ни 1, ни 7. Следовательно, для каждой из этих позиций остаётся $10 - 2 = 8$ возможных вариантов (цифры 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9). Поскольку цифры могут повторяться, число способов заполнить две оставшиеся позиции равно $8 \times 8 = 8^2 = 64$.

Чтобы найти общее число благоприятных исходов, перемножим результаты двух шагов:$M = 12 \times 64 = 768$.

3. Найдём вероятность.
Вероятность ($P$) события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{M}{N} = \frac{768}{10000} = 0,0768$.

Ответ: 0,0768.