Страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

187 Внутри треугольника $ABC$ случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка попала в треугольник $ABM$, где $AM$ — медиана треугольника $ABC$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка внутри некоторой фигуры попадет в ее часть, равна отношению площади этой части к площади всей фигуры.

Пусть $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$, а $S_{ABM}$ — площадь треугольника $ABM$. Тогда искомая вероятность $P$ вычисляется по формуле:
$P = \frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}$

По условию, отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$. По определению, медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ — это середина стороны $BC$, а значит, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$.

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $ABC$. Проведем высоту $h$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Эта высота будет общей для обоих треугольников.

Площадь треугольника $ABC$ находится по формуле:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$

Площадь треугольника $ABM$ находится по формуле:
$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h$

Так как $BM = \frac{1}{2}BC$, подставим это выражение в формулу для площади треугольника $ABM$:
$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}BC\right) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h\right)$
Сравнивая с формулой для площади $S_{ABC}$, получаем:
$S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$

Это известное свойство медианы: она делит треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. треугольника с равными площадями).

Теперь можем найти вероятность:
$P = \frac{S_{ABM}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5.

188 Из прямоугольника случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность события:

a) «точка принадлежит ромбу, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника»;

б) «точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей».

Для решения задачи по геометрической вероятности необходимо найти отношение площади фигуры, в которую должна попасть точка (благоприятный исход), к площади всей фигуры, из которой выбирается точка (общее пространство исходов).

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его площадь $S_{прямоугольника}$ равна:

$S_{прямоугольника} = a \cdot b$

а) «точка принадлежит ромбу, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника»

Соединив середины сторон прямоугольника, мы получим ромб. Диагонали этого ромба параллельны сторонам прямоугольника и равны им по длине. То есть, длины диагоналей ромба равны $a$ и $b$.

Площадь ромба ($S_{ромба}$) вычисляется как половина произведения его диагоналей:

$S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит этому ромбу, равна отношению площади ромба к площади прямоугольника:

$P = \frac{S_{ромба}}{S_{прямоугольника}} = \frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) «точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей»

Диагонали прямоугольника пересекаются в его центре и делят прямоугольник на четыре треугольника с равными площадями. Каждая из этих площадей составляет $\frac{1}{4}$ от площади всего прямоугольника.

Рассматриваемый в задаче треугольник является одним из этих четырех треугольников. Его площадь ($S_{треугольника}$) можно вычислить и напрямую. Основанием этого треугольника является одна из сторон прямоугольника (например, сторона $a$), а высота, проведенная к этому основанию из точки пересечения диагоналей, равна половине другой стороны ($\frac{b}{2}$).

Площадь треугольника равна:

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}$

Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит этому треугольнику, равна отношению площади треугольника к площади прямоугольника:

$P = \frac{S_{треугольника}}{S_{прямоугольника}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

189 В квадрате случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что точка принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события (в данном случае, попадания точки в круг) равна отношению площади благоприятствующей области (площади круга) к площади всей области (площади квадрата).

1. Обозначим сторону квадрата как $a$. Тогда площадь квадрата $S_{кв}$ будет равна:

$S_{кв} = a^2$

2. Круг, вписанный в квадрат, касается всех его сторон. Это означает, что диаметр круга равен стороне квадрата: $d = a$.

3. Радиус вписанного круга $r$ равен половине его диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$

4. Площадь вписанного круга $S_{кр}$ вычисляется по формуле:

$S_{кр} = \pi r^2$

Подставим в формулу значение радиуса $r = \frac{a}{2}$:

$S_{кр} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$

5. Теперь найдем искомую вероятность $P$ как отношение площади круга к площади квадрата:

$P = \frac{S_{кр}}{S_{кв}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{a^2}$

Сокращаем $a^2$ в числителе и знаменателе:

$P = \frac{\pi}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

190 В квадрате $ABCD$ случайным образом выбирается точка $X$. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику $ADM$, где точка $M$:

а) середина стороны $CD$;

б) делит отрезок $CD$ в отношении $1:2$, считая от точки $C$;

в) делит отрезок $CD$ в отношении $m:n$, считая от точки $C$.

Данная задача относится к области геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка в квадрате $ABCD$ попадёт в треугольник $ADM$, равна отношению площади треугольника к площади квадрата.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда площадь квадрата $S_{ABCD} = a^2$.

Площадь треугольника $ADM$ можно вычислить по формуле $S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Примем за основание сторону $AD$. Длина основания $AD = a$. Высотой, опущенной из вершины $M$ на прямую, содержащую основание $AD$, является отрезок $DM$, так как стороны квадрата $AD$ и $CD$ перпендикулярны ($AD \perp CD$).

Таким образом, площадь треугольника $ADM$ равна: $S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DM = \frac{1}{2} a \cdot DM$.

Искомая вероятность $P$ будет равна: $P = \frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} a \cdot DM}{a^2} = \frac{DM}{2a}$.

Теперь найдём значение $DM$ для каждого из трёх случаев.

а) середина стороны CD;

Если точка $M$ — середина стороны $CD$, то длина отрезка $DM$ равна половине длины стороны $CD$. Так как $CD = a$, то $DM = \frac{1}{2}a$.

Подставим это значение в формулу для вероятности:

$P = \frac{\frac{1}{2}a}{2a} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) делит отрезок CD в отношении 1 : 2, считая от точки С;

По условию, точка $M$ делит отрезок $CD$ так, что $CM : MD = 1 : 2$. Это значит, что отрезок $CD$ можно разделить на $1+2=3$ равные части. Длина отрезка $MD$ будет составлять $2$ из этих $3$ частей.

Длина $DM = \frac{2}{1+2} \cdot CD = \frac{2}{3}a$.

Подставим найденное значение в формулу для вероятности:

$P = \frac{\frac{2}{3}a}{2a} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) делит отрезок CD в отношении m : n, считая от точки C.

В общем случае точка $M$ делит отрезок $CD$ в отношении $CM : MD = m : n$. Длина отрезка $CD$ разделена на $m+n$ равных частей. Длина отрезка $MD$ составляет $n$ из этих частей.

Следовательно, $DM = \frac{n}{m+n} \cdot CD = \frac{n}{m+n}a$.

Вычислим вероятность для этого случая:

$P = \frac{\frac{n}{m+n}a}{2a} = \frac{n}{2(m+n)}$.

Ответ: $\frac{n}{2(m+n)}$.

191 В квадрате $ABCD$ случайным образом выбирается точка $X$. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции $AMCD$, где точка $M$:

a) середина стороны $BC$;

б) делит отрезок $BC$ в отношении $1:2$, считая от точки $C$;

в) делит отрезок $BC$ в отношении $m:n$, считая от точки $B$.

Вероятность того, что случайная точка X, выбранная в квадрате ABCD, принадлежит трапеции AMCD, определяется как отношение площади трапеции AMCD к площади квадрата ABCD. Это задача на геометрическую вероятность.

Пусть сторона квадрата ABCD равна $a$. Тогда его площадь $S_{ABCD} = a^2$.

Фигура AMCD является прямоугольной трапецией, так как $MC \parallel AD$ (поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, а $BC \parallel AD$) и боковая сторона $CD$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $MC$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{трапеции} = \frac{полусумма \ оснований}{2} \cdot высота$. В нашем случае основаниями являются $AD$ и $MC$, а высотой — $CD$.

$S_{AMCD} = \frac{AD + MC}{2} \cdot CD$.

Так как $AD = a$ и $CD = a$, формула для площади трапеции принимает вид: $S_{AMCD} = \frac{a + MC}{2} \cdot a$.

Искомая вероятность $P$ равна отношению площадей:

$P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{a + MC}{2} \cdot a}{a^2} = \frac{a + MC}{2a}$.

Теперь решим задачу для каждого из предложенных случаев.

а) Точка M — середина стороны BC.

Длина стороны BC равна $a$. Так как M — середина BC, то длина отрезка MC равна половине длины BC.

$MC = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}$.

Подставим это значение в формулу для вероятности:

$P = \frac{a + MC}{2a} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2a} = \frac{\frac{3a}{2}}{2a} = \frac{3a}{4a} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Точка M делит отрезок BC в отношении $1:2$, считая от точки C.

Это означает, что отношение длин отрезков $CM$ к $MB$ равно $1:2$, то есть $CM:MB = 1:2$.

Весь отрезок BC, равный $a$, можно разделить на $1+2=3$ равные части. Отрезок CM составляет одну из этих частей.

$MC = \frac{1}{1+2} BC = \frac{1}{3} a = \frac{a}{3}$.

Подставим найденное значение MC в формулу для вероятности:

$P = \frac{a + MC}{2a} = \frac{a + \frac{a}{3}}{2a} = \frac{\frac{4a}{3}}{2a} = \frac{4a}{6a} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) Точка M делит отрезок BC в отношении $m:n$, считая от точки B.

Это означает, что отношение длин отрезков $BM$ к $MC$ равно $m:n$, то есть $BM:MC = m:n$.

Весь отрезок BC, равный $a$, можно разделить на $m+n$ равных частей. Отрезок MC составляет $n$ из этих частей.

$MC = \frac{n}{m+n} BC = \frac{n}{m+n} a$.

Подставим это выражение для MC в формулу для вероятности:

$P = \frac{a + MC}{2a} = \frac{a + \frac{n}{m+n}a}{2a} = \frac{a(1 + \frac{n}{m+n})}{2a} = \frac{1 + \frac{n}{m+n}}{2}$.

Приведем числитель к общему знаменателю:

$P = \frac{\frac{m+n+n}{m+n}}{2} = \frac{\frac{m+2n}{m+n}}{2} = \frac{m+2n}{2(m+n)}$.

Ответ: $\frac{m+2n}{2(m+n)}$.

1 Какие события рассматриваются в опыте, состоящем в случайном выборе точки фигуры на плоскости?

В опыте, который заключается в случайном выборе точки из некоторой фигуры F на плоскости, мы имеем дело с моделью геометрической вероятности.

Пространством элементарных исходов $\Omega$ в данном случае является множество всех точек, принадлежащих самой фигуре F. Любая точка внутри фигуры F является одним из возможных исходов опыта.

Событием в этом контексте является утверждение о том, что случайно выбранная точка принадлежит некоторой части (подфигуре) исходной фигуры F. Обозначим эту часть как фигуру A. Для того чтобы можно было вычислить вероятность, эта часть A должна быть измеримой, то есть иметь определенную площадь. Таким образом, любое измеримое подмножество $A$ фигуры $F$ ($A \subseteq F$) является событием.

Например:

• Если исходная фигура F — это квадрат, то событием A может быть "попадание точки в круг, вписанный в этот квадрат".
• Если исходная фигура F — это круг, то событием B может быть "попадание точки в определенный сектор этого круга".

Вероятность такого события A вычисляется по формуле геометрической вероятности как отношение площадей: $P(A) = \frac{S(A)}{S(F)}$, где $S(A)$ — площадь подфигуры, соответствующей событию A, а $S(F)$ — площадь всей фигуры F.

Ответ: В опыте, состоящем в случайном выборе точки фигуры на плоскости, событиями являются попадания этой точки в различные измеримые части (подфигуры) данной фигуры.

2 Точку выбирают из некоторой данной фигуры. От чего зависит и от чего не зависит вероятность попадания выбранной точки в фигуру, содержащуюся внутри данной фигуры?

Данная задача относится к области геометрической вероятности. Пусть есть некоторая большая фигура $F$, из которой выбирается точка, и меньшая фигура $f$, которая полностью содержится внутри фигуры $F$. Вероятность $P$ того, что случайно выбранная из $F$ точка окажется также и в $f$, определяется как отношение их мер (для плоских фигур — площадей, для одномерных — длин, для трехмерных — объемов). Для двумерного случая формула выглядит так:

$P = \frac{S_f}{S_F}$

где $S_f$ — площадь меньшей фигуры, а $S_F$ — площадь большей фигуры.

Исходя из этой формулы, можно определить, от чего зависит и не зависит данная вероятность.

Вероятность зависит от:

Вероятность $P$ напрямую зависит от числителя и знаменателя дроби в формуле, то есть от площадей обеих фигур. Изменение площади любой из фигур (или обеих) приведет к изменению их отношения, а значит, и к изменению вероятности. Таким образом, вероятность зависит от соотношения площади внутренней фигуры к площади внешней фигуры.

Ответ: Вероятность зависит от площадей данных фигур, а точнее — от их отношения.

Вероятность не зависит от:

Вероятность не будет меняться, если факторы не влияют на площади фигур $S_f$ и $S_F$. К таким факторам относятся:

1. Форма фигур. Например, если большая фигура — квадрат площадью $100 \text{ см}^2$, а внутренняя — круг площадью $10 \text{ см}^2$, то вероятность попадания в круг будет $P = \frac{10}{100} = 0.1$. Если бы внутренняя фигура была треугольником той же площади $10 \text{ см}^2$, вероятность осталась бы прежней.

2. Расположение (положение) внутренней фигуры внутри внешней. Пока фигура $f$ полностью находится внутри $F$, ее можно перемещать в любое место внутри $F$ без изменения вероятности, так как площади $S_f$ и $S_F$ от этого не меняются.

3. Ориентация фигур в пространстве. Поворот любой из фигур не изменяет ее площадь, следовательно, и на итоговую вероятность это не влияет.

Ответ: Вероятность не зависит от формы фигур, их расположения относительно друг друга (при условии, что меньшая фигура полностью содержится в большей) и их ориентации в пространстве.

3 Напишите формулу для вероятности попадания выбранной точки в фигуру G при выборе точки из фигуры F, содержащей в себе фигуру G.

Эта задача решается с помощью определения геометрической вероятности. Геометрическая вероятность события определяется как отношение меры (длины, площади или объёма) области, благоприятствующей наступлению этого события, к мере всей области, в которой может произойти событие.

В данном случае:

• Пространство всех возможных исходов — это выбор точки из фигуры $F$. Мерой этого пространства является мера фигуры $F$, которую мы обозначим как $S(F)$.
• Событие, вероятность которого мы ищем, — это попадание точки в фигуру $G$. Фигура $G$ является частью фигуры $F$ ($G \subset F$). Мерой пространства благоприятных исходов является мера фигуры $G$, которую мы обозначим как $S(G)$.

Предполагается, что выбор точки в любой части фигуры $F$ равновозможен (равномерное распределение).

Вероятность $P$ попадания случайно выбранной точки из фигуры $F$ в фигуру $G$ равна отношению меры фигуры $G$ к мере фигуры $F$.

Формула для вычисления этой вероятности выглядит следующим образом:

$P = \frac{S(G)}{S(F)}$

Здесь $S(F)$ и $S(G)$ могут обозначать длину, площадь или объём в зависимости от размерности фигур. Например, если $F$ и $G$ — это плоские фигуры, то $S$ — это их площадь. Если это тела в пространстве, то $S$ — их объём.

Ответ: $P = \frac{S(G)}{S(F)}$

4 Точку наудачу выбирают из квадрата $ABCD$. Какова вероятность того, что вы-бранная точка принадлежит треугольнику $ABC$?

Данная задача решается с помощью геометрического определения вероятности. Вероятность того, что точка, случайным образом выбранная из некоторой области, попадёт в её подобласть, равна отношению площадей этих областей.

В нашем случае, вся область — это квадрат $ABCD$, а благоприятная область, в которую должна попасть точка — это треугольник $ABC$.

Вероятность $P$ искомого события вычисляется по формуле:

$P = \frac{\text{Площадь благоприятной области}}{\text{Площадь всей области}} = \frac{S_{ABC}}{S_{ABCD}}$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда его площадь $S_{ABCD}$ вычисляется как:

$S_{ABCD} = a^2$

Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как угол $\angle B$ квадрата равен $90^\circ$. Катетами этого треугольника являются стороны квадрата $AB$ и $BC$, длина каждой из которых равна $a$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$

Также можно заметить, что диагональ $AC$ делит квадрат $ABCD$ на два равных треугольника: $ABC$ и $ADC$. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ составляет ровно половину площади квадрата.

Теперь найдем искомую вероятность, подставив значения площадей в формулу:

$P = \frac{S_{ABC}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2}a^2}{a^2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$