Номер 4, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Точку наудачу выбирают из квадрата $ABCD$. Какова вероятность того, что вы-бранная точка принадлежит треугольнику $ABC$?

Данная задача решается с помощью геометрического определения вероятности. Вероятность того, что точка, случайным образом выбранная из некоторой области, попадёт в её подобласть, равна отношению площадей этих областей.

В нашем случае, вся область — это квадрат $ABCD$, а благоприятная область, в которую должна попасть точка — это треугольник $ABC$.

Вероятность $P$ искомого события вычисляется по формуле:

$P = \frac{\text{Площадь благоприятной области}}{\text{Площадь всей области}} = \frac{S_{ABC}}{S_{ABCD}}$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда его площадь $S_{ABCD}$ вычисляется как:

$S_{ABCD} = a^2$

Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как угол $\angle B$ квадрата равен $90^\circ$. Катетами этого треугольника являются стороны квадрата $AB$ и $BC$, длина каждой из которых равна $a$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$

Также можно заметить, что диагональ $AC$ делит квадрат $ABCD$ на два равных треугольника: $ABC$ и $ADC$. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ составляет ровно половину площади квадрата.

Теперь найдем искомую вероятность, подставив значения площадей в формулу:

$P = \frac{S_{ABC}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2}a^2}{a^2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$