Номер 198, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

198 Углы $AOB$ и $COD$ вертикальные. При этом точка $C$ лежит на луче $AO$ и $\angle AOB = 60^\circ$. Из окружности с центром в точке $O$ случайным образом выбирают точку $X$. Найдите вероятность того, что точка $X$ лежит:

a) внутри хотя бы одного из углов $BOC$ или $AOD$;

б) внутри угла $DOC$.

а) внутри хотя бы одного из углов BOC или AOD;

По условию, углы $AOB$ и $COD$ являются вертикальными. Это означает, что они образованы пересечением двух прямых, в данном случае, прямых $AC$ и $BD$. Точка $O$ — точка их пересечения.

Углы $AOB$ и $BOC$ являются смежными, так как их стороны $OA$ и $OC$ образуют прямую линию. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Зная, что $\angle AOB = 60^\circ$, мы можем найти величину угла $BOC$:
$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Углы $AOD$ и $BOC$ также являются вертикальными, следовательно, они равны:
$\angle AOD = \angle BOC = 120^\circ$.

Вероятность в данном случае — это геометрическая вероятность, которая определяется как отношение "благоприятной" меры к "полной" мере. Для окружности мерой является ее угловая величина, равная $360^\circ$.

Благоприятным исходом является попадание точки $X$ в область, соответствующую углам $BOC$ или $AOD$. Так как эти углы не пересекаются (за исключением общей вершины), общая угловая мера благоприятной области равна сумме их мер:

$\angle BOC + \angle AOD = 120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$.

Теперь найдем вероятность, разделив угловую меру благоприятной области на полную угловую меру окружности:

$P = \frac{240^\circ}{360^\circ} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) внутри угла DOC.

Углы $DOC$ и $AOB$ являются вертикальными по условию. Свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны.

Следовательно, $\angle DOC = \angle AOB = 60^\circ$.

Благоприятной областью в этом случае является сектор, соответствующий углу $DOC$. Его угловая мера равна $60^\circ$.

Вероятность того, что точка $X$ попадет в эту область, равна отношению угловой меры этой области к полной угловой мере окружности:

$P = \frac{\angle DOC}{360^\circ} = \frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$