Номер 192, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

192 В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит:

a) вписанному в круг квадрату;

б) вписанному в круг равностороннему треугольнику.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае — площади) благоприятствующей области к мере всей области. Пусть радиус круга равен $R$.

Площадь всего круга $S_{круга}$ вычисляется по формуле:

$S_{круга} = \pi R^2$

Эта величина будет знаменателем в дроби для вычисления вероятности в обоих случаях.

а) вписанному в круг квадрату;

Найдем площадь квадрата, вписанного в круг. Диагональ такого квадрата $d$ равна диаметру круга, то есть $d = 2R$.

Площадь квадрата $S_{квадрата}$ можно выразить через его диагональ по формуле:

$S_{квадрата} = \frac{1}{2} d^2$

Подставив $d = 2R$, получим:

$S_{квадрата} = \frac{1}{2} (2R)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 = 2R^2$

Вероятность того, что точка принадлежит вписанному квадрату, равна отношению площади квадрата к площади круга:

$P(A) = \frac{S_{квадрата}}{S_{круга}} = \frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi}$

Ответ: $\frac{2}{\pi}$

б) вписанному в круг равностороннему треугольнику.

Найдем площадь равностороннего треугольника, вписанного в круг. Сторона такого треугольника $a$ связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой:

$a = R\sqrt{3}$

Площадь равностороннего треугольника $S_{треуг}$ со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{треуг} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим выражение для стороны $a$ через радиус $R$:

$S_{треуг} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$

Вероятность того, что точка принадлежит вписанному равностороннему треугольнику, равна отношению его площади к площади круга:

$P(B) = \frac{S_{треуг}}{S_{круга}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$