Номер 190, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

190 В квадрате $ABCD$ случайным образом выбирается точка $X$. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику $ADM$, где точка $M$:

а) середина стороны $CD$;

б) делит отрезок $CD$ в отношении $1:2$, считая от точки $C$;

в) делит отрезок $CD$ в отношении $m:n$, считая от точки $C$.

Данная задача относится к области геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка в квадрате $ABCD$ попадёт в треугольник $ADM$, равна отношению площади треугольника к площади квадрата.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда площадь квадрата $S_{ABCD} = a^2$.

Площадь треугольника $ADM$ можно вычислить по формуле $S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Примем за основание сторону $AD$. Длина основания $AD = a$. Высотой, опущенной из вершины $M$ на прямую, содержащую основание $AD$, является отрезок $DM$, так как стороны квадрата $AD$ и $CD$ перпендикулярны ($AD \perp CD$).

Таким образом, площадь треугольника $ADM$ равна: $S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DM = \frac{1}{2} a \cdot DM$.

Искомая вероятность $P$ будет равна: $P = \frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} a \cdot DM}{a^2} = \frac{DM}{2a}$.

Теперь найдём значение $DM$ для каждого из трёх случаев.

а) середина стороны CD;

Если точка $M$ — середина стороны $CD$, то длина отрезка $DM$ равна половине длины стороны $CD$. Так как $CD = a$, то $DM = \frac{1}{2}a$.

Подставим это значение в формулу для вероятности:

$P = \frac{\frac{1}{2}a}{2a} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) делит отрезок CD в отношении 1 : 2, считая от точки С;

По условию, точка $M$ делит отрезок $CD$ так, что $CM : MD = 1 : 2$. Это значит, что отрезок $CD$ можно разделить на $1+2=3$ равные части. Длина отрезка $MD$ будет составлять $2$ из этих $3$ частей.

Длина $DM = \frac{2}{1+2} \cdot CD = \frac{2}{3}a$.

Подставим найденное значение в формулу для вероятности:

$P = \frac{\frac{2}{3}a}{2a} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) делит отрезок CD в отношении m : n, считая от точки C.

В общем случае точка $M$ делит отрезок $CD$ в отношении $CM : MD = m : n$. Длина отрезка $CD$ разделена на $m+n$ равных частей. Длина отрезка $MD$ составляет $n$ из этих частей.

Следовательно, $DM = \frac{n}{m+n} \cdot CD = \frac{n}{m+n}a$.

Вычислим вероятность для этого случая:

$P = \frac{\frac{n}{m+n}a}{2a} = \frac{n}{2(m+n)}$.

Ответ: $\frac{n}{2(m+n)}$.