Номер 183, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

183 На двери установлен кодовый замок с кнопками. На кнопках изображены цифры от 0 до 9. Чтобы открыть дверь, нужно одновременно нажать три кнопки неизвестного нам кода. Найдите вероятность открыть дверь с первой попытки, нажав три кнопки наудачу.

Для нахождения вероятности воспользуемся классическим определением: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов. $P = \frac{m}{n}$.

Сначала определим общее число возможных исходов $n$. На замке 10 кнопок с цифрами от 0 до 9. Для открытия двери нужно одновременно нажать 3 кнопки. Поскольку кнопки нажимаются одновременно, порядок их выбора не важен. Это означает, что нам нужно найти количество сочетаний из 10 элементов по 3.

Общее число способов выбрать 3 кнопки из 10 вычисляется по формуле числа сочетаний:

$n = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$

Распишем факториалы:

$n = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = \frac{720}{6} = 120$.

Таким образом, существует 120 различных комбинаций из трех кнопок, которые можно нажать.

Теперь определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это нажатие правильной комбинации кнопок. Так как код неизвестен, но он один, то существует только одна правильная комбинация, которая откроет дверь.

Следовательно, $m = 1$.

Вероятность открыть дверь с первой попытки равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$.