Номер 177, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

177 В лотерее разыгрывается несколько выигрышных номеров из общего количества номеров. Сколько всего существует комбинаций выигрышных номеров, если:

а) разыгрываются 5 номеров из 36;

б) разыгрываются 6 номеров из 49?

а) разыгрываются 5 номеров из 36;
Для решения этой задачи необходимо найти число сочетаний из 36 элементов по 5, так как порядок выпадения номеров не важен. Формула для числа сочетаний имеет вид:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.
В данном случае $n = 36$ и $k = 5$.
Подставляем значения в формулу:
$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5! \cdot 31!}$
Распишем и сократим факториалы:
$C_{36}^5 = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 31!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Выполним вычисления:
$C_{36}^5 = \frac{45239040}{120} = 376992$
Таким образом, существует 376 992 комбинации выигрышных номеров.
Ответ: 376 992.

б) разыгрываются 6 номеров из 49?
Аналогично предыдущему пункту, используем формулу для числа сочетаний. Здесь общее количество номеров $n = 49$, а количество выигрышных номеров $k = 6$.
Подставляем значения в формулу:
$C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6! \cdot 43!}$
Распишем и сократим факториалы:
$C_{49}^6 = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Выполним вычисления, предварительно упростив выражение. Знаменатель $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$. В числителе можно сократить множители: $48 = 6 \cdot 4 \cdot 2$ и $45 = 5 \cdot 9$.
$C_{49}^6 = \frac{49 \cdot (6 \cdot 4 \cdot 2) \cdot 47 \cdot 46 \cdot (5 \cdot 9) \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{49 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 9 \cdot 44}{3} = 49 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 3 \cdot 44$
$C_{49}^6 = 13983816$
Таким образом, существует 13 983 816 комбинаций выигрышных номеров.
Ответ: 13 983 816.