Номер 180, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

180 В ящике 4 красных и 2 жёлтых флажка. Из него наудачу извлекают 3 флажка. Какова вероятность того, что все эти флажки красные?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем общее число возможных исходов (n).

В ящике всего $4 + 2 = 6$ флажков. Мы извлекаем 3 флажка. Общее число способов выбрать 3 флажка из 6, где порядок не важен, определяется числом сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=6$ (всего флажков) и $k=3$ (извлекаем флажков):

$n = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Таким образом, существует 20 различных способов извлечь 3 флажка из ящика.

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Благоприятный исход — это извлечение 3 красных флажков. Всего в ящике 4 красных флажка. Число способов выбрать 3 красных флажка из 4 доступных также вычисляется с помощью сочетаний.

Здесь $n=4$ (всего красных флажков) и $k=3$ (извлекаем красных флажков):

$m = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4}{1} = 4$.

Следовательно, существует 4 способа извлечь 3 красных флажка.

3. Вычислим искомую вероятность.

Вероятность $P$ того, что все три извлеченных флажка окажутся красными, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.