Номер 178, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

178 Одно время была популярна лотерея «Честная игра». В билете лотереи имеется 20 закрытых букв, ровно 10 из них — буквы слова «АВТОМОБИЛЬ». Буквы разбросаны случайным образом. По правилам лотереи, если владелец билета, открыв ровно 10 букв, откроет все буквы слова «АВТОМОБИЛЬ», то он выигрывает машину.

а) Сколько всего существует способов открыть 10 букв?

б) Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть автомобиль?

в) Какова вероятность выиграть автомобиль?

а) Сколько всего существует способов открыть 10 букв?

В билете всего 20 закрытых букв, из которых нужно выбрать 10. Порядок, в котором открываются буквы, не важен, поэтому для нахождения общего числа способов мы используем формулу числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество букв $n=20$, а количество букв, которые нужно открыть, $k=10$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 184756$

Таким образом, существует 184 756 различных способов открыть 10 букв из 20.

Ответ: 184 756.

б) Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть автомобиль?

Для выигрыша необходимо открыть все 10 букв, составляющих слово «АВТОМОБИЛЬ». По условию, в билете ровно 10 таких букв. Следовательно, выигрышный способ — это выбрать все 10 этих букв.

Количество способов выбрать 10 выигрышных букв из 10 имеющихся выигрышных букв равно:

$C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1$

Это означает, что существует только один-единственный способ выиграть.

Ответ: 1.

в) Какова вероятность выиграть автомобиль?

Вероятность события по классическому определению равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

$P(\text{событие}) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}}$

Число благоприятных исходов (выигрышных способов) из пункта (б) равно 1.

Общее число исходов (всех возможных способов открыть 10 букв) из пункта (а) равно 184 756.

Таким образом, вероятность выиграть автомобиль равна:

$P(\text{выигрыш}) = \frac{1}{184756}$

Ответ: $\frac{1}{184756}$.