Номер 174, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

174 Сколько существует последовательностей из шести букв, в которых:

а) три буквы У, остальные буквы Н;

б) пять букв У, остальные буквы Н?

а)

Нам нужно найти количество уникальных последовательностей из шести букв, где три буквы — 'У', а остальные $6 - 3 = 3$ буквы — 'Н'. Эта задача сводится к нахождению числа способов разместить 3 одинаковые буквы 'У' на 6 доступных позициях. Как только мы выберем позиции для букв 'У', оставшиеся позиции будут автоматически заняты буквами 'Н'. Это классическая задача на сочетания. Количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов вычисляется по формуле числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее количество позиций $n=6$, а количество букв 'У', которые нужно разместить, $k=3$.

Подставляем значения в формулу:

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20$.

Следовательно, существует 20 таких последовательностей.

Ответ: 20

б)

В этом случае нам нужно найти количество последовательностей из шести букв, где пять букв — 'У', а остальные $6 - 5 = 1$ буква — 'Н'. Задача аналогична предыдущей: нужно выбрать 5 позиций для букв 'У' из 6 возможных.

Используем ту же формулу числа сочетаний, где $n=6$ и $k=5$:

$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1} = \frac{6}{1} = 6$.

Также можно рассуждать иначе: нам нужно разместить всего одну букву 'Н' на одной из шести позиций. Существует ровно 6 способов это сделать. Все остальные позиции будут заняты буквами 'У'. Например: НУУУУУ, УНУУУУ, УУНУУУ и так далее.

Ответ: 6