Номер 169, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

169 Сколькими способами можно выбрать:

a) 49 предметов из 50;

$ \binom{50}{49} $

б) 64 предмета из 65?

$ \binom{65}{64} $

а) 49 предметов из 50;

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, поскольку порядок выбора предметов не важен. Формула для числа сочетаний имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее число предметов $n = 50$, а число выбираемых предметов $k = 49$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{50}^{49} = \frac{50!}{49!(50-49)!} = \frac{50!}{49! \cdot 1!}$

Зная, что $50! = 50 \cdot 49!$, мы можем сократить дробь:

$C_{50}^{49} = \frac{50 \cdot 49!}{49! \cdot 1} = 50$

Также можно подойти к задаче с другой стороны. Выбрать 49 предметов из 50 — это то же самое, что выбрать 1 предмет, который мы не будем брать. Существует ровно 50 способов выбрать один предмет из 50. Это соответствует свойству симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

$C_{50}^{49} = C_{50}^{50-49} = C_{50}^{1} = \frac{50!}{1!(50-1)!} = \frac{50!}{1 \cdot 49!} = 50$

Ответ: 50

б) 64 предмета из 65?

Аналогично предыдущему пункту, мы используем ту же формулу для числа сочетаний, но с другими значениями. Здесь общее число предметов $n = 65$, а число выбираемых предметов $k = 64$.

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим значения $n=65$ и $k=64$:

$C_{65}^{64} = \frac{65!}{64!(65-64)!} = \frac{65!}{64! \cdot 1!}$

Так как $65! = 65 \cdot 64!$, получаем:

$C_{65}^{64} = \frac{65 \cdot 64!}{64! \cdot 1} = 65$

Как и в пункте а), можно заметить, что выбор 64 предметов из 65 эквивалентен выбору 1 предмета, который останется. Сделать это можно 65 способами.

$C_{65}^{64} = C_{65}^{65-64} = C_{65}^{1} = \frac{65!}{1!(65-1)!} = \frac{65!}{1 \cdot 64!} = 65$

Ответ: 65