Номер 165, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

165 Найдите:

а) $C_4^3$;

б) $C_5^2$;

в) $C_7^5$;

г)* $C_{11}^3$;

д)* $C_{12}^6$;

е)* $C_{12}^8$.

Число сочетаний из $n$ по $k$ ($C_n^k$) — это количество способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, без учета порядка. Оно вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Также для упрощения расчетов полезно свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Для нахождения $C_4^3$ воспользуемся свойством $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{3! \cdot 4}{1 \cdot 3!} = 4$.

Ответ: 4

Вычислим $C_5^2$ по формуле:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$.

Ответ: 10

Для нахождения $C_7^5$ воспользуемся свойством $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$.

Ответ: 21

Вычислим $C_{11}^3$ по формуле:

$C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} = \frac{8! \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 11}{6} = 3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$.

Ответ: 165

Вычислим $C_{12}^6$ по формуле:

$C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = (12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) / 720$.

Сократим множители: $\frac{12}{6 \cdot 2} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{8}{4} \cdot 11 \cdot 7 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 = 924$.

Ответ: 924

Для нахождения $C_{12}^8$ воспользуемся свойством $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{12}^8 = C_{12}^{12-8} = C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{8! \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{24}$.

Сократим множители: $9 \cdot \frac{10}{2} \cdot 11 \cdot \frac{12}{4 \cdot 3} = 9 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 1 = 495$.

Ответ: 495