Номер 162, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

162 У вахтёра в комнате доска с крючками. Всего 12 крючков, а на них 12 ключей. Доска упала и ключи рассыпались. Вахтёр собрал ключи и развесил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что:

а) каждый ключ висит на своём крючке;

б) хотя бы один ключ висит не на своём крючке;

в) два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках;

г) ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих.

а) каждый ключ висит на своём крючке

Общее число возможных способов развесить 12 ключей на 12 крючков равно числу перестановок из 12 элементов. Это общее число равновозможных исходов $N$.

$N = P_{12} = 12!$

$12! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 = 479001600$

Событие, при котором каждый ключ висит на своём крючке, соответствует только одному единственному исходу. Таким образом, число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность этого события $P(A)$ вычисляется по классической формуле вероятности:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{1}{12!}$

Ответ: $ \frac{1}{12!} = \frac{1}{479001600} $.

б) хотя бы один ключ висит не на своём крючке

Событие «хотя бы один ключ висит не на своём крючке» (событие $B$) является противоположным событию «каждый ключ висит на своём крючке» (событие $A$ из пункта а).

Вероятность противоположного события равна $1$ минус вероятность исходного события:

$P(B) = P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Используя результат из пункта а), получаем:

$P(B) = 1 - \frac{1}{12!} = \frac{12! - 1}{12!} = \frac{479001599}{479001600}$

Ответ: $ 1 - \frac{1}{12!} = \frac{479001599}{479001600} $.

в) два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках

Общее число возможных исходов по-прежнему составляет $N = 12!$.

Рассмотрим событие $C$, когда два определённых ключа (например, ключ 1 и ключ 2) поменялись местами, а остальные 10 ключей (с 3 по 12) остались на своих правильных крючках.

Это означает, что ключ 1 висит на крючке 2, ключ 2 — на крючке 1, а все остальные ключи $k$ висят на своих крючках $k$. Такое расположение ключей является одной конкретной перестановкой из всех $12!$ возможных.

Следовательно, число благоприятных исходов для этого события $m=1$.

Вероятность этого события равна:

$P(C) = \frac{m}{N} = \frac{1}{12!}$

Ответ: $ \frac{1}{12!} = \frac{1}{479001600} $.

г) ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих

Рассмотрим событие $D$, когда ровно один ключ висит не на своём месте.

Предположим, что ключ $k$ — единственный, который висит не на своём крючке $k$. Это означает, что он должен висеть на каком-то другом крючке, например, на крючке $j$ (где $j \neq k$).

По условию, все остальные ключи, включая ключ $j$, должны висеть на своих местах. Значит, ключ $j$ должен висеть на крючке $j$.

Однако крючок $j$ уже занят ключом $k$. Это создаёт противоречие, так как на одном крючке не может висеть два ключа. Если же ключ $k$ занял место ключа $j$, то ключ $j$ тоже не может быть на своём месте, что противоречит условию "ровно один ключ висит не на своём крючке".

Следовательно, ситуация, когда ровно один ключ висит не на своём месте, невозможна. Это невозможное событие, и число благоприятных ему исходов равно $m=0$.

Вероятность невозможного события равна нулю.

$P(D) = \frac{0}{12!} = 0$

Ответ: $ 0 $.