Номер 157, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

157 Какова вероятность того, что среди последних четырёх цифр в семизначном номере телефона есть цифра 8?

Для решения этой задачи определим общее число возможных исходов и число благоприятных исходов. Мы рассматриваем последние четыре цифры телефонного номера. Предполагается, что на каждой из этих четырех позиций может стоять любая цифра от 0 до 9, и все комбинации равновероятны.

Общее число всех возможных комбинаций для последних четырех цифр $N$ рассчитывается как $10^4$, поскольку для каждой из 4 позиций есть 10 вариантов (цифры 0-9): $N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000$.

Нам нужно найти вероятность события A: "среди последних четырех цифр есть хотя бы одна цифра 8". Проще вычислить вероятность противоположного события A': "среди последних четырех цифр нет ни одной цифры 8", а затем вычесть ее из единицы.

Найдем число исходов, благоприятных для события A'. Если цифра 8 исключена, для каждой из четырех позиций остается 9 возможных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9). Тогда число комбинаций, не содержащих цифру 8, равно: $N(A') = 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^4 = 6561$.

Вероятность противоположного события $P(A')$ равна отношению числа благоприятных ему исходов к общему числу исходов: $P(A') = \frac{N(A')}{N} = \frac{9^4}{10^4} = \left(\frac{9}{10}\right)^4 = 0.9^4 = 0.6561$.

События A и A' являются взаимоисключающими и образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Искомая вероятность $P(A)$ равна: $P(A) = 1 - P(A') = 1 - 0.6561 = 0.3439$.

Ответ: $0.3439$