Номер 154, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

154 Докажите, что если $n < m$, то $m!$ делится на $n!$ без остатка.

Для доказательства того, что $m!$ делится на $n!$ без остатка при условии, что $n$ и $m$ — натуральные числа и $n < m$, необходимо показать, что частное $\frac{m!}{n!}$ является целым числом.

По определению, факториал числа $k$ (обозначается $k!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$ включительно:
$k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot k$.

Запишем выражение для $m!$:
$m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (m-1) \cdot m$.

Поскольку по условию $n < m$, то число $n$ меньше числа $m$. Это означает, что в последовательности множителей для $m!$ (от 1 до $m$) содержится вся последовательность множителей для $n!$ (от 1 до $n$).

Представим $m!$ так, чтобы выделить произведение чисел от 1 до $n$:
$m! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n) \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot m$.

Выражение в скобках является определением $n!$. Следовательно, мы можем переписать формулу для $m!$ следующим образом:
$m! = n! \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot m$.

Теперь рассмотрим частное от деления $m!$ на $n!$:
$\frac{m!}{n!} = \frac{n! \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot m}{n!}$.

Сокращая общий множитель $n!$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{m!}{n!} = (n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot m$.

Результатом деления является произведение целых чисел, начиная с $(n+1)$ и заканчивая $m$. Так как $n$ и $m$ — натуральные числа и $n < m$, то все множители в этом произведении являются целыми числами. Произведение целых чисел всегда является целым числом.

Поскольку частное $\frac{m!}{n!}$ равно целому числу, это означает, что $m!$ делится на $n!$ нацело (без остатка), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Частное от деления $m!$ на $n!$ равно произведению целых чисел $(n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot m$, которое всегда является целым числом при $n < m$.