Номер 152, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

152 Вычислите значение дроби:

а) $\frac{5!}{2!}$;

б) $\frac{7!}{5!}$;

в) $\frac{10!}{8!}$;

г) $\frac{100!}{99!}$;

д) $\frac{15!}{13! 2!}$;

е) $\frac{12!}{3! 9!}$.

а) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{5!}{2!}$, воспользуемся определением факториала: $n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1$. Представим числитель $5!$ как $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!$: $$ \frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} $$ Сократим $2!$ в числителе и знаменателе: $$ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $$ Ответ: 60

б) Для вычисления дроби $\frac{7!}{5!}$ представим $7!$ как $7 \cdot 6 \cdot 5!$: $$ \frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} $$ Сократим $5!$ и получим: $$ 7 \cdot 6 = 42 $$ Ответ: 42

в) Для вычисления дроби $\frac{10!}{8!}$ представим $10!$ как $10 \cdot 9 \cdot 8!$: $$ \frac{10!}{8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8!} $$ Сократим $8!$ и получим: $$ 10 \cdot 9 = 90 $$ Ответ: 90

г) Для вычисления дроби $\frac{100!}{99!}$ представим $100!$ как $100 \cdot 99!$: $$ \frac{100!}{99!} = \frac{100 \cdot 99!}{99!} $$ Сократим $99!$ и получим: $$ 100 $$ Ответ: 100

д) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{15!}{13! \cdot 2!}$, представим $15!$ через $13!$, так как это наибольший факториал в знаменателе: $15! = 15 \cdot 14 \cdot 13!$. Подставим это в исходное выражение: $$ \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{13! \cdot 2!} $$ Сократим $13!$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{15 \cdot 14}{2!} $$ Теперь вычислим знаменатель $2! = 2 \cdot 1 = 2$: $$ \frac{15 \cdot 14}{2} = 15 \cdot 7 = 105 $$ Ответ: 105

е) Для вычисления дроби $\frac{12!}{3! \cdot 9!}$ представим $12!$ через $9!$, так как $9!$ - это больший из факториалов в знаменателе: $12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$. Подставим в дробь: $$ \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3! \cdot 9!} $$ Сократим $9!$: $$ \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3!} $$ Вычислим знаменатель $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$: $$ \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} $$ Сократим дробь, разделив $12$ на $6$: $$ 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220 $$ Ответ: 220