Номер 4, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Чему равен факториал нуля?

Факториал нуля, обозначаемый как $0!$, по определению равен 1. Это может показаться нелогичным, так как факториал натурального числа $n$ ($n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Однако значение $0!=1$ является математически обоснованным и необходимым для сохранения свойств многих формул.

Существует несколько объяснений этому факту:

1. Комбинаторное объяснение. Факториал $n!$ представляет собой количество способов, которыми можно упорядочить (переставить) $n$ различных объектов. Например, 3 объекта можно переставить $3! = 6$ способами. Если же мы рассматриваем 0 объектов (пустое множество), существует ровно один способ их "упорядочить" — ничего не делать. Следовательно, количество перестановок для нуля объектов равно 1. В математике это также известно как "пустое произведение", которое по соглашению равно мультипликативной единице, то есть 1.

2. Объяснение через рекуррентное соотношение. Для любого положительного целого числа $n$ факториал можно определить через рекуррентное соотношение: $n! = n \times (n-1)!$. Чтобы это соотношение оставалось верным и для $n=1$, мы можем выразить $(n-1)!$ через $n!$:

$(n-1)! = \frac{n!}{n}$

Подставим в эту формулу $n=1$:

$(1-1)! = \frac{1!}{1}$

$0! = \frac{1}{1}$

$0! = 1$

Таким образом, принятие $0!=1$ позволяет расширить определение факториала на все неотрицательные целые числа, сохраняя его ключевые свойства.

Ответ: 1