Номер 2, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Что такое факториал натурального числа?

Факториал натурального числа — это произведение (результат умножения) всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно. Факториал числа $n$ обозначается как $n!$ (читается «эн факториал»).

Математически это можно записать следующей формулой:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

Или с использованием знака произведения (пи):

$n! = \prod_{k=1}^{n} k$

По особому соглашению, факториал нуля принимается равным единице:

$0! = 1$

Это соглашение необходимо для многих математических формул, особенно в комбинаторике, а также для того, чтобы работало рекуррентное соотношение (см. ниже) при $n=1$.

Примеры вычисления факториала:

• $1! = 1$
• $2! = 1 \cdot 2 = 2$
• $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
• $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
• $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Факториалы обладают важным рекуррентным свойством, которое позволяет выразить факториал большего числа через факториал меньшего:

$n! = n \cdot (n-1)!$

Например, $5! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 24 = 120$.

Основное применение факториала — в комбинаторике, разделе математики, который изучает комбинации и перестановки. Например, количество способов, которыми можно расположить (переставить) $n$ различных предметов в ряд, равно $n!$.

Ответ: Факториал натурального числа $n$ (обозначается $n!$) — это результат умножения всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Например, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. По определению, факториал нуля также определён и равен $1$ ($0! = 1$).