Номер 3, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Чему равно число различных перестановок из $n$ предметов?

Число различных перестановок из $n$ предметов — это количество способов, которыми можно упорядочить эти $n$ различных предметов. Каждая перестановка представляет собой один из возможных порядков расположения этих предметов.

Чтобы найти это число, воспользуемся логикой последовательного выбора. Представим, что у нас есть $n$ пустых позиций, которые нужно заполнить $n$ предметами.

На первую позицию мы можем поместить любой из $n$ предметов, следовательно, у нас есть $n$ вариантов выбора.
После того как первая позиция занята, у нас остаётся $n-1$ предмет. На вторую позицию мы можем выбрать любой из этих $n-1$ предметов, что дает нам $n-1$ вариант.
Для третьей позиции останется $n-2$ предмета и, соответственно, $n-2$ варианта выбора.
Этот процесс продолжается до тех пор, пока все предметы не будут расставлены. Для предпоследней позиции у нас будет 2 варианта, а для последней останется только 1 вариант.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее число всех возможных перестановок ($P_n$) равно произведению числа вариантов на каждом шаге:$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

Это произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$.

Пример: Для $n=3$ предметов (например, А, Б, В), число перестановок равно $P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Возможные перестановки: (АБВ), (АВБ), (БАВ), (БВА), (ВАБ), (ВБА).

Ответ: $n!$ (n-факториал).