Номер 153, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

153 Выпишите все натуральные делители числа:

а) $4!$;

б) $5!$.

а)

Сначала необходимо вычислить значение выражения $4!$ (читается как "четыре факториал"). Факториал натурального числа $n$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.

$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.

Теперь найдем все натуральные делители числа 24. Натуральный делитель числа — это натуральное число, на которое исходное число делится без остатка. Чтобы найти все делители, можно последовательно проверять числа или разложить число 24 на простые множители.

Разложение числа 24 на простые множители: $24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3^1$.

Все делители числа 24 будут иметь вид $2^a \times 3^b$, где показатель степени $a$ может принимать значения от 0 до 3 (т.е. 0, 1, 2, 3), а показатель $b$ — от 0 до 1 (т.е. 0, 1).

Переберем все возможные комбинации:

• $2^0 \times 3^0 = 1 \times 1 = 1$
• $2^1 \times 3^0 = 2 \times 1 = 2$
• $2^2 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4$
• $2^3 \times 3^0 = 8 \times 1 = 8$
• $2^0 \times 3^1 = 1 \times 3 = 3$
• $2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6$
• $2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
• $2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$

Запишем все делители в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

б)

Аналогично, вычислим значение выражения $5!$.

$5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5$.

Используя результат из предыдущего пункта ($4! = 24$), получаем: $5! = 4! \times 5 = 24 \times 5 = 120$.

Теперь найдем все натуральные делители числа 120. Разложим его на простые множители: $120 = 10 \times 12 = (2 \times 5) \times (4 \times 3) = (2 \times 5) \times (2^2 \times 3) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$.

Все делители числа 120 будут иметь вид $2^a \times 3^b \times 5^c$, где $a \in \{0, 1, 2, 3\}$, $b \in \{0, 1\}$, $c \in \{0, 1\}$.

Можно найти их систематически:
1. Сначала возьмем делители числа $2^3 \times 3^1 = 24$ (когда $c=0$). Мы их уже нашли: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
2. Теперь умножим каждый из этих делителей на 5 (когда $c=1$):
$1 \times 5 = 5$
$2 \times 5 = 10$
$3 \times 5 = 15$
$4 \times 5 = 20$
$6 \times 5 = 30$
$8 \times 5 = 40$
$12 \times 5 = 60$
$24 \times 5 = 120$

Объединим оба набора делителей и запишем их в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.