Номер 159, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

159 Найдите вероятность того, что среди трёх последних цифр случайного телефонного номера не окажется:

а) цифры 0;

б) цифры 2;

в) цифр 1 и 6;

г) цифр 2, 5 и 7.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию.

Три последние цифры случайного телефонного номера образуют упорядоченную последовательность из трёх элементов. Каждая цифра может быть любой от 0 до 9, то есть существует 10 вариантов для каждой позиции. Поскольку выбор цифр для каждой позиции независим, общее число всех возможных комбинаций для трёх последних цифр равно:

$n = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.

Это общее число исходов для всех подпунктов задачи.

а) цифры 0;

Событие заключается в том, что среди трёх последних цифр нет цифры 0. Это означает, что для каждой из трёх позиций можно использовать любую из 9 оставшихся цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).Число благоприятных исходов для каждой из трёх позиций равно 9.Общее число благоприятствующих исходов $m$ равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$m = 9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$.

Тогда искомая вероятность равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{729}{1000} = 0,729$.

Ответ: 0,729

б) цифры 2;

Событие заключается в том, что среди трёх последних цифр нет цифры 2. Аналогично предыдущему пункту, для каждой позиции можно использовать любую из 9 цифр, кроме 2 (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).Число благоприятных исходов для каждой из трёх позиций равно 9.Общее число благоприятствующих исходов $m$ равно:

$m = 9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{729}{1000} = 0,729$.

Ответ: 0,729

в) цифр 1 и 6;

Событие заключается в том, что среди трёх последних цифр нет ни цифры 1, ни цифры 6. Это означает, что для каждой из трёх позиций можно использовать любую из $10 - 2 = 8$ оставшихся цифр (0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9).Число благоприятных исходов для каждой из трёх позиций равно 8.Общее число благоприятствующих исходов $m$ равно:

$m = 8 \times 8 \times 8 = 8^3 = 512$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{512}{1000} = 0,512$.

Ответ: 0,512

г) цифр 2, 5 и 7.

Событие заключается в том, что среди трёх последних цифр нет ни цифры 2, ни 5, ни 7. Это означает, что для каждой из трёх позиций можно использовать любую из $10 - 3 = 7$ оставшихся цифр (0, 1, 3, 4, 6, 8, 9).Число благоприятных исходов для каждой из трёх позиций равно 7.Общее число благоприятствующих исходов $m$ равно:

$m = 7 \times 7 \times 7 = 7^3 = 343$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{343}{1000} = 0,343$.

Ответ: 0,343