Страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

148 В автосервис одновременно приехали 3 машины для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?

Данная задача заключается в нахождении количества возможных упорядоченных последовательностей из трёх различных элементов (машин). В комбинаторике такие последовательности называются перестановками.

Для решения задачи воспользуемся правилом произведения. Представим очередь из трёх мест:

1. На первое место в очереди можно поставить любую из трёх машин. Таким образом, есть 3 варианта выбора.

2. Когда одна машина уже заняла первое место, на второе место могут претендовать две оставшиеся машины. Следовательно, для второго места есть 2 варианта.

3. На третье место остаётся только одна, последняя машина. Для этого места есть всего 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов выстроить очередь, необходимо перемножить количество вариантов для каждого места:
$3 \times 2 \times 1 = 6$

Это число также является факториалом числа 3, который обозначается как $3!$ и вычисляется по формуле для числа перестановок из $n$ элементов $P_n = n!$.
$P_3 = 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$

Следовательно, существует 6 различных способов расставить 3 машины в очередь.

Ответ: 6

149 Сколько есть способов раздать пяти хоккеистам номера с 1-го по 5-й?

Эта задача заключается в определении количества способов, которыми можно распределить 5 различных номеров между 5 различными хоккеистами. Поскольку каждому хоккеисту достается уникальный номер и важен порядок их распределения (т.е. какой именно номер получит каждый хоккеист), мы имеем дело с перестановками.

Рассмотрим процесс назначения номеров пошагово:
- Первому хоккеисту можно выбрать любой из 5 доступных номеров. У нас есть 5 вариантов.
- Второму хоккеисту остается на выбор 4 номера, так как один уже занят. У нас 4 варианта.
- Третьему хоккеисту можно выдать один из оставшихся 3 номеров. Это 3 варианта.
- Четвертому хоккеисту достанется один из 2 оставшихся номеров. Это 2 варианта.
- Пятый хоккеист получит последний оставшийся номер. Это 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить количество вариантов на каждом шаге. Это число равно количеству перестановок из 5 элементов, которое обозначается как $P_5$ и вычисляется с помощью факториала.

Формула для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.
В нашем случае $n = 5$, поэтому:
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

Таким образом, существует 120 способов раздать номера пяти хоккеистам.

Ответ: 120

150 Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, определяющий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт, если в соревнованиях принимают участие:

а) 6 лыжников;

б) 8 лыжников;

в) 10 лыжников;

г) k лыжников?

Поскольку порядок старта определяется жребием, нам необходимо найти количество всех возможных упорядоченных последовательностей (перестановок) из заданного числа лыжников. Число перестановок для $n$ различных элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "эн факториал"), где $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$.

а) 6 лыжников;
Для 6 лыжников количество различных последовательностей выхода на старт равно числу перестановок из 6 элементов:
$P_6 = 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$.
Ответ: 720.

б) 8 лыжников;
Для 8 лыжников количество различных последовательностей выхода на старт равно числу перестановок из 8 элементов:
$P_8 = 8! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 = 40320$.
Ответ: 40320.

в) 10 лыжников;
Для 10 лыжников количество различных последовательностей выхода на старт равно числу перестановок из 10 элементов:
$P_{10} = 10! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 3628800$.
Ответ: 3628800.

г) k лыжников?
Для $k$ лыжников количество различных последовательностей выхода на старт равно числу перестановок из $k$ элементов, что равно факториалу числа $k$.
$P_k = k!$.
Ответ: $k!$.

151 Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова:

а) учебник;

б) автор;

в) фонарь;

г)* бабуин?

а) учебник;

Для того чтобы найти количество различных последовательностей из букв слова, нужно определить, есть ли в слове повторяющиеся буквы. Слово "учебник" состоит из 7 букв: у, ч, е, б, н, и, к. Все буквы в этом слове уникальны.

Количество различных последовательностей (перестановок) из $n$ различных элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "эн факториал").

В данном случае количество букв $n = 7$. Следовательно, число различных последовательностей равно:

$P_7 = 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040$.

Ответ: 5040

б) автор;

Слово "автор" состоит из 5 букв: а, в, т, о, р. Все буквы в этом слове также являются уникальными.

Применяем формулу для числа перестановок из $n$ различных элементов: $P_n = n!$.

Здесь количество букв $n = 5$. Таким образом, количество различных последовательностей составляет:

$P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

Ответ: 120

в) фонарь;

Слово "фонарь" состоит из 6 букв: ф, о, н, а, р, ь. Все буквы в этом слове, включая мягкий знак, различны.

Используем ту же формулу для перестановок без повторений: $P_n = n!$.

Для слова "фонарь" количество букв $n = 6$. Число возможных последовательностей равно:

$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Ответ: 720

г)* бабуин?

Слово "бабуин" состоит из 6 букв: б, а, б, у, и, н. В этом слове есть повторяющиеся буквы: буква "б" встречается 2 раза.

Когда в наборе из $n$ элементов есть повторяющиеся группы, количество различных перестановок (последовательностей) вычисляется по формуле перестановок с повторениями: $P(n; n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$, где $n$ — общее число элементов, а $n_1, n_2, \dots, n_k$ — количества одинаковых элементов каждого типа.

В нашем случае общее число букв $n=6$. Буква "б" повторяется $n_1=2$ раза. Остальные буквы (а, у, и, н) встречаются по одному разу, поэтому их факториалы равны $1! = 1$ и не влияют на знаменатель.

Подставляем значения в формулу:

$P(6; 2) = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.

Ответ: 360

152 Вычислите значение дроби:

а) $\frac{5!}{2!}$;

б) $\frac{7!}{5!}$;

в) $\frac{10!}{8!}$;

г) $\frac{100!}{99!}$;

д) $\frac{15!}{13! 2!}$;

е) $\frac{12!}{3! 9!}$.

а) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{5!}{2!}$, воспользуемся определением факториала: $n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1$. Представим числитель $5!$ как $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!$: $$ \frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} $$ Сократим $2!$ в числителе и знаменателе: $$ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $$ Ответ: 60

б) Для вычисления дроби $\frac{7!}{5!}$ представим $7!$ как $7 \cdot 6 \cdot 5!$: $$ \frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} $$ Сократим $5!$ и получим: $$ 7 \cdot 6 = 42 $$ Ответ: 42

в) Для вычисления дроби $\frac{10!}{8!}$ представим $10!$ как $10 \cdot 9 \cdot 8!$: $$ \frac{10!}{8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8!} $$ Сократим $8!$ и получим: $$ 10 \cdot 9 = 90 $$ Ответ: 90

г) Для вычисления дроби $\frac{100!}{99!}$ представим $100!$ как $100 \cdot 99!$: $$ \frac{100!}{99!} = \frac{100 \cdot 99!}{99!} $$ Сократим $99!$ и получим: $$ 100 $$ Ответ: 100

д) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{15!}{13! \cdot 2!}$, представим $15!$ через $13!$, так как это наибольший факториал в знаменателе: $15! = 15 \cdot 14 \cdot 13!$. Подставим это в исходное выражение: $$ \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{13! \cdot 2!} $$ Сократим $13!$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{15 \cdot 14}{2!} $$ Теперь вычислим знаменатель $2! = 2 \cdot 1 = 2$: $$ \frac{15 \cdot 14}{2} = 15 \cdot 7 = 105 $$ Ответ: 105

е) Для вычисления дроби $\frac{12!}{3! \cdot 9!}$ представим $12!$ через $9!$, так как $9!$ - это больший из факториалов в знаменателе: $12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$. Подставим в дробь: $$ \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3! \cdot 9!} $$ Сократим $9!$: $$ \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3!} $$ Вычислим знаменатель $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$: $$ \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} $$ Сократим дробь, разделив $12$ на $6$: $$ 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220 $$ Ответ: 220

153 Выпишите все натуральные делители числа:

а) $4!$;

б) $5!$.

а)

Сначала необходимо вычислить значение выражения $4!$ (читается как "четыре факториал"). Факториал натурального числа $n$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.

$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.

Теперь найдем все натуральные делители числа 24. Натуральный делитель числа — это натуральное число, на которое исходное число делится без остатка. Чтобы найти все делители, можно последовательно проверять числа или разложить число 24 на простые множители.

Разложение числа 24 на простые множители: $24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3^1$.

Все делители числа 24 будут иметь вид $2^a \times 3^b$, где показатель степени $a$ может принимать значения от 0 до 3 (т.е. 0, 1, 2, 3), а показатель $b$ — от 0 до 1 (т.е. 0, 1).

Переберем все возможные комбинации:

• $2^0 \times 3^0 = 1 \times 1 = 1$
• $2^1 \times 3^0 = 2 \times 1 = 2$
• $2^2 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4$
• $2^3 \times 3^0 = 8 \times 1 = 8$
• $2^0 \times 3^1 = 1 \times 3 = 3$
• $2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6$
• $2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
• $2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$

Запишем все делители в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

б)

Аналогично, вычислим значение выражения $5!$.

$5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5$.

Используя результат из предыдущего пункта ($4! = 24$), получаем: $5! = 4! \times 5 = 24 \times 5 = 120$.

Теперь найдем все натуральные делители числа 120. Разложим его на простые множители: $120 = 10 \times 12 = (2 \times 5) \times (4 \times 3) = (2 \times 5) \times (2^2 \times 3) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$.

Все делители числа 120 будут иметь вид $2^a \times 3^b \times 5^c$, где $a \in \{0, 1, 2, 3\}$, $b \in \{0, 1\}$, $c \in \{0, 1\}$.

Можно найти их систематически:
1. Сначала возьмем делители числа $2^3 \times 3^1 = 24$ (когда $c=0$). Мы их уже нашли: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
2. Теперь умножим каждый из этих делителей на 5 (когда $c=1$):
$1 \times 5 = 5$
$2 \times 5 = 10$
$3 \times 5 = 15$
$4 \times 5 = 20$
$6 \times 5 = 30$
$8 \times 5 = 40$
$12 \times 5 = 60$
$24 \times 5 = 120$

Объединим оба набора делителей и запишем их в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

154 Докажите, что если $n < m$, то $m!$ делится на $n!$ без остатка.

Для доказательства того, что $m!$ делится на $n!$ без остатка при условии, что $n$ и $m$ — натуральные числа и $n < m$, необходимо показать, что частное $\frac{m!}{n!}$ является целым числом.

По определению, факториал числа $k$ (обозначается $k!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$ включительно:
$k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot k$.

Запишем выражение для $m!$:
$m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (m-1) \cdot m$.

Поскольку по условию $n < m$, то число $n$ меньше числа $m$. Это означает, что в последовательности множителей для $m!$ (от 1 до $m$) содержится вся последовательность множителей для $n!$ (от 1 до $n$).

Представим $m!$ так, чтобы выделить произведение чисел от 1 до $n$:
$m! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n) \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot m$.

Выражение в скобках является определением $n!$. Следовательно, мы можем переписать формулу для $m!$ следующим образом:
$m! = n! \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot m$.

Теперь рассмотрим частное от деления $m!$ на $n!$:
$\frac{m!}{n!} = \frac{n! \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot m}{n!}$.

Сокращая общий множитель $n!$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{m!}{n!} = (n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot m$.

Результатом деления является произведение целых чисел, начиная с $(n+1)$ и заканчивая $m$. Так как $n$ и $m$ — натуральные числа и $n < m$, то все множители в этом произведении являются целыми числами. Произведение целых чисел всегда является целым числом.

Поскольку частное $\frac{m!}{n!}$ равно целому числу, это означает, что $m!$ делится на $n!$ нацело (без остатка), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Частное от деления $m!$ на $n!$ равно произведению целых чисел $(n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot m$, которое всегда является целым числом при $n < m$.

155 В классе 30 человек. Среди них нет двоих одинакового роста. По команде учителя физкультуры они выстраиваются в одну шеренгу в случайном порядке. Найдите вероятность того, что они встали по росту.

Для нахождения вероятности воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — это общее число всех возможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов $N$.
В классе 30 человек. Они выстраиваются в одну шеренгу в случайном порядке. Общее число способов, которыми можно расставить 30 различных людей в ряд, равно числу перестановок из 30 элементов. Это значение вычисляется как факториал числа 30. $N = P_{30} = 30!$ Это общее количество всех возможных построений.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$.
Благоприятным исходом является ситуация, когда все ученики встали "по росту". Так как по условию нет двух учеников одинакового роста, то существует только два варианта построения по росту:

• в порядке возрастания роста (от самого низкого к самому высокому);
• в порядке убывания роста (от самого высокого к самому низкому).

Таким образом, у нас есть ровно два благоприятных исхода. $m = 2$.

3. Найдем вероятность.
Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что ученики случайно встанут по росту, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов: $P = \frac{m}{N} = \frac{2}{30!}$

Ответ: $\frac{2}{30!}$

156 В страховой компании проходит рекламная акция: компьютер случайным образом выбирает автомобильный номер, и владелец автомобиля с таким номером получает скидку. Найдите вероятность того, что счастливым окажется номер «В 845 МА».

Для нахождения вероятности того, что компьютер выберет конкретный автомобильный номер, необходимо сначала определить общее количество всех возможных уникальных номеров. Вероятность будет равна отношению количества благоприятных исходов (в данном случае, одного конкретного номера) к общему числу возможных исходов.

Стандартный российский автомобильный номер (без учета кода региона, который в задаче не упоминается) состоит из трех букв и трех цифр в формате «Буква-Цифры-Буквы». Например, «В 845 МА».

Определим количество возможных комбинаций для каждой части номера:

1. Буквы: В российских автомобильных номерах используются только 12 букв кириллического алфавита, имеющих графические аналоги в латинском алфавите: А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х. Поскольку в номере три буквенные позиции, и на каждой может стоять любая из 12 букв, общее число буквенных комбинаций равно:
   $N_{букв} = 12 \times 12 \times 12 = 12^3 = 1728$
2. Цифры: Номерная часть состоит из трех цифр. Эта часть представляет собой число от 001 до 999. Комбинация 000 не используется для регистрации. Таким образом, всего существует 999 возможных числовых комбинаций.
   $N_{цифр} = 999$

Теперь вычислим общее количество всех возможных автомобильных номеров ($N$), перемножив количество буквенных и цифровых комбинаций:
$N = N_{букв} \times N_{цифр} = 1728 \times 999 = 1726272$

Таким образом, существует 1 726 272 различных автомобильных номеров, из которых компьютер делает случайный выбор.

Вероятность ($P$) случайного события вычисляется по классической формуле:
$P = \frac{m}{N}$
где $m$ — количество благоприятных исходов, а $N$ — общее количество всех равновозможных исходов.

В нашей задаче:

• Количество благоприятных исходов $m = 1$, так как нас интересует один-единственный счастливый номер «В 845 МА».
• Общее количество всех возможных исходов $N = 1726272$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем искомую вероятность:
$P = \frac{1}{1726272}$

Ответ: $\frac{1}{1726272}$

157 Какова вероятность того, что среди последних четырёх цифр в семизначном номере телефона есть цифра 8?

Для решения этой задачи определим общее число возможных исходов и число благоприятных исходов. Мы рассматриваем последние четыре цифры телефонного номера. Предполагается, что на каждой из этих четырех позиций может стоять любая цифра от 0 до 9, и все комбинации равновероятны.

Общее число всех возможных комбинаций для последних четырех цифр $N$ рассчитывается как $10^4$, поскольку для каждой из 4 позиций есть 10 вариантов (цифры 0-9): $N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000$.

Нам нужно найти вероятность события A: "среди последних четырех цифр есть хотя бы одна цифра 8". Проще вычислить вероятность противоположного события A': "среди последних четырех цифр нет ни одной цифры 8", а затем вычесть ее из единицы.

Найдем число исходов, благоприятных для события A'. Если цифра 8 исключена, для каждой из четырех позиций остается 9 возможных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9). Тогда число комбинаций, не содержащих цифру 8, равно: $N(A') = 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^4 = 6561$.

Вероятность противоположного события $P(A')$ равна отношению числа благоприятных ему исходов к общему числу исходов: $P(A') = \frac{N(A')}{N} = \frac{9^4}{10^4} = \left(\frac{9}{10}\right)^4 = 0.9^4 = 0.6561$.

События A и A' являются взаимоисключающими и образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Искомая вероятность $P(A)$ равна: $P(A) = 1 - P(A') = 1 - 0.6561 = 0.3439$.

Ответ: $0.3439$

158 Найдите вероятность того, что трёхзначный номер случайно проезжающей мимо машины состоит из цифр 0, 4 и 5, взятых в произвольном порядке.

Для нахождения вероятности воспользуемся классической формулой $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число всех возможных трехзначных номеров ($N$). Трехзначными числами являются целые числа от 100 до 999 включительно. Их общее количество можно рассчитать как $999 - 100 + 1 = 900$. Итак, $N = 900$.

Теперь найдем число благоприятных исходов ($M$). Нас интересуют трехзначные номера, которые состоят из цифр 0, 4 и 5, взятых в произвольном порядке. Это означает, что номер должен быть образован перестановкой этих трех цифр. Составим все возможные трехзначные числа из цифр 0, 4, 5.

Поскольку номер является трехзначным, первая цифра не может быть 0.

• Если на первом месте стоит цифра 4, то на оставшихся двух местах могут стоять 0 и 5. Возможные комбинации: 405 и 450.
• Если на первом месте стоит цифра 5, то на оставшихся двух местах могут стоять 0 и 4. Возможные комбинации: 504 и 540.

Таким образом, всего существует 4 трехзначных числа, состоящих из цифр 0, 4 и 5. Это числа 405, 450, 504, 540. Следовательно, число благоприятных исходов $M = 4$.

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность: $P = \frac{M}{N} = \frac{4}{900}$

Сократив дробь, получаем: $P = \frac{4}{900} = \frac{1}{225}$

Ответ: $\frac{1}{225}$

159 Найдите вероятность того, что среди трёх последних цифр случайного телефонного номера не окажется:

а) цифры 0;

б) цифры 2;

в) цифр 1 и 6;

г) цифр 2, 5 и 7.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию.

Три последние цифры случайного телефонного номера образуют упорядоченную последовательность из трёх элементов. Каждая цифра может быть любой от 0 до 9, то есть существует 10 вариантов для каждой позиции. Поскольку выбор цифр для каждой позиции независим, общее число всех возможных комбинаций для трёх последних цифр равно:

$n = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.

Это общее число исходов для всех подпунктов задачи.

а) цифры 0;

Событие заключается в том, что среди трёх последних цифр нет цифры 0. Это означает, что для каждой из трёх позиций можно использовать любую из 9 оставшихся цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).Число благоприятных исходов для каждой из трёх позиций равно 9.Общее число благоприятствующих исходов $m$ равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$m = 9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$.

Тогда искомая вероятность равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{729}{1000} = 0,729$.

Ответ: 0,729

б) цифры 2;

Событие заключается в том, что среди трёх последних цифр нет цифры 2. Аналогично предыдущему пункту, для каждой позиции можно использовать любую из 9 цифр, кроме 2 (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).Число благоприятных исходов для каждой из трёх позиций равно 9.Общее число благоприятствующих исходов $m$ равно:

$m = 9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{729}{1000} = 0,729$.

Ответ: 0,729

в) цифр 1 и 6;

Событие заключается в том, что среди трёх последних цифр нет ни цифры 1, ни цифры 6. Это означает, что для каждой из трёх позиций можно использовать любую из $10 - 2 = 8$ оставшихся цифр (0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9).Число благоприятных исходов для каждой из трёх позиций равно 8.Общее число благоприятствующих исходов $m$ равно:

$m = 8 \times 8 \times 8 = 8^3 = 512$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{512}{1000} = 0,512$.

Ответ: 0,512

г) цифр 2, 5 и 7.

Событие заключается в том, что среди трёх последних цифр нет ни цифры 2, ни 5, ни 7. Это означает, что для каждой из трёх позиций можно использовать любую из $10 - 3 = 7$ оставшихся цифр (0, 1, 3, 4, 6, 8, 9).Число благоприятных исходов для каждой из трёх позиций равно 7.Общее число благоприятствующих исходов $m$ равно:

$m = 7 \times 7 \times 7 = 7^3 = 343$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{343}{1000} = 0,343$.

Ответ: 0,343

160 Какова вероятность того, что среди последних трёх цифр случайного телефонного номера:

а) встретится цифра 7;

б) встретится цифра 2 или цифра 3;

в) встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1;

г) будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 и 9?

Для решения задачи будем исходить из того, что любая из последних трех цифр телефонного номера может быть одной из 10 цифр (от 0 до 9) с равной вероятностью. Таким образом, общее число всех возможных комбинаций для последних трех цифр равно $N = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.

Это событие означает, что среди последних трех цифр появится хотя бы одна семерка. Для решения удобнее найти вероятность противоположного события, которое заключается в том, что цифра 7 не встретится ни разу.Для каждой из трех позиций есть 9 возможных цифр (все, кроме 7). Общее число таких комбинаций равно $9^3 = 729$.Вероятность того, что цифра 7 не встретится, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(\text{нет 7}) = \frac{9^3}{10^3} = \frac{729}{1000} = 0,729$.Искомая вероятность (что цифра 7 встретится хотя бы один раз) равна разности единицы и вероятности противоположного события: $P = 1 - 0,729 = 0,271$.Ответ: 0,271.

Это событие означает, что среди последних трех цифр встретится хотя бы одна цифра из набора {2, 3}. Найдем вероятность противоположного события: ни одна из трех цифр не является ни 2, ни 3.В этом случае для каждой из трех позиций можно выбрать любую из 8 оставшихся цифр ({0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}). Общее число таких комбинаций равно $8^3 = 512$.Вероятность того, что не встретится ни 2, ни 3, равна: $P(\text{нет 2 и нет 3}) = \frac{8^3}{10^3} = \frac{512}{1000} = 0,512$.Искомая вероятность равна: $P = 1 - 0,512 = 0,488$.Ответ: 0,488.

Найдем вероятность противоположного события: ни одна из трех цифр не является ни 4, ни 0, ни 1.Для каждой из трех позиций можно выбрать любую из 7 оставшихся цифр ({2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}). Общее число таких комбинаций равно $7^3 = 343$.Вероятность того, что не встретится ни одна из указанных цифр, равна: $P(\text{нет 4, 0, 1}) = \frac{7^3}{10^3} = \frac{343}{1000} = 0,343$.Следовательно, вероятность того, что встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1, равна: $P = 1 - 0,343 = 0,657$.Ответ: 0,657.

Найдем вероятность противоположного события: ни одна из трех цифр не является ни 1, ни 2, ни 4, ни 9.Для каждой из трех позиций можно выбрать любую из 6 оставшихся цифр ({0, 3, 5, 6, 7, 8}). Общее число таких комбинаций равно $6^3 = 216$.Вероятность того, что не встретится ни одна из указанных цифр, равна: $P(\text{нет 1, 2, 4, 9}) = \frac{6^3}{10^3} = \frac{216}{1000} = 0,216$.Таким образом, искомая вероятность равна: $P = 1 - 0,216 = 0,784$.Ответ: 0,784.

161 Десять школьников в случайном порядке заходят на экзамен. Каждый из них называет фамилию (однофамильцев нет). Председатель экзаменационной комиссии записывает на листочке фамилии в том порядке, в каком входят школьники. Найдите вероятность того, что фамилии окажутся записаны:

а) в алфавитном порядке;

б) в порядке, обратном алфавитному.

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае исходом является определенный порядок, в котором десять школьников заходят на экзамен. Поскольку фамилии у всех разные, общее число всех возможных порядков (перестановок) равно числу перестановок из 10 элементов.

Общее число исходов $N$ вычисляется по формуле для числа перестановок $P_n = n!$.

При $n=10$:

$N = P_{10} = 10! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 3,628,800$.

Таким образом, существует 3,628,800 различных способов, которыми школьники могут войти на экзамен.

а) в алфавитном порядке

Среди всех возможных перестановок фамилий существует только одна, в которой фамилии расположены строго в алфавитном порядке. Это и есть наш благоприятствующий исход.

Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$.

Вероятность того, что фамилии окажутся записаны в алфавитном порядке, равна:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{1}{10!} = \frac{1}{3,628,800}$.

Ответ: $\frac{1}{3,628,800}$

б) в порядке, обратном алфавитному

Аналогично предыдущему пункту, существует только одна уникальная последовательность, в которой фамилии расположены в порядке, обратном алфавитному.

Таким образом, число благоприятствующих исходов в этом случае также равно $m = 1$.

Вероятность того, что фамилии окажутся записаны в порядке, обратном алфавитному, равна:

$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{1}{10!} = \frac{1}{3,628,800}$.

Ответ: $\frac{1}{3,628,800}$