Номер 160, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

160 Какова вероятность того, что среди последних трёх цифр случайного телефонного номера:

а) встретится цифра 7;

б) встретится цифра 2 или цифра 3;

в) встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1;

г) будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 и 9?

Для решения задачи будем исходить из того, что любая из последних трех цифр телефонного номера может быть одной из 10 цифр (от 0 до 9) с равной вероятностью. Таким образом, общее число всех возможных комбинаций для последних трех цифр равно $N = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.

Это событие означает, что среди последних трех цифр появится хотя бы одна семерка. Для решения удобнее найти вероятность противоположного события, которое заключается в том, что цифра 7 не встретится ни разу.Для каждой из трех позиций есть 9 возможных цифр (все, кроме 7). Общее число таких комбинаций равно $9^3 = 729$.Вероятность того, что цифра 7 не встретится, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(\text{нет 7}) = \frac{9^3}{10^3} = \frac{729}{1000} = 0,729$.Искомая вероятность (что цифра 7 встретится хотя бы один раз) равна разности единицы и вероятности противоположного события: $P = 1 - 0,729 = 0,271$.Ответ: 0,271.

Это событие означает, что среди последних трех цифр встретится хотя бы одна цифра из набора {2, 3}. Найдем вероятность противоположного события: ни одна из трех цифр не является ни 2, ни 3.В этом случае для каждой из трех позиций можно выбрать любую из 8 оставшихся цифр ({0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}). Общее число таких комбинаций равно $8^3 = 512$.Вероятность того, что не встретится ни 2, ни 3, равна: $P(\text{нет 2 и нет 3}) = \frac{8^3}{10^3} = \frac{512}{1000} = 0,512$.Искомая вероятность равна: $P = 1 - 0,512 = 0,488$.Ответ: 0,488.

Найдем вероятность противоположного события: ни одна из трех цифр не является ни 4, ни 0, ни 1.Для каждой из трех позиций можно выбрать любую из 7 оставшихся цифр ({2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}). Общее число таких комбинаций равно $7^3 = 343$.Вероятность того, что не встретится ни одна из указанных цифр, равна: $P(\text{нет 4, 0, 1}) = \frac{7^3}{10^3} = \frac{343}{1000} = 0,343$.Следовательно, вероятность того, что встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1, равна: $P = 1 - 0,343 = 0,657$.Ответ: 0,657.

Найдем вероятность противоположного события: ни одна из трех цифр не является ни 1, ни 2, ни 4, ни 9.Для каждой из трех позиций можно выбрать любую из 6 оставшихся цифр ({0, 3, 5, 6, 7, 8}). Общее число таких комбинаций равно $6^3 = 216$.Вероятность того, что не встретится ни одна из указанных цифр, равна: $P(\text{нет 1, 2, 4, 9}) = \frac{6^3}{10^3} = \frac{216}{1000} = 0,216$.Таким образом, искомая вероятность равна: $P = 1 - 0,216 = 0,784$.Ответ: 0,784.