Номер 161, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

161 Десять школьников в случайном порядке заходят на экзамен. Каждый из них называет фамилию (однофамильцев нет). Председатель экзаменационной комиссии записывает на листочке фамилии в том порядке, в каком входят школьники. Найдите вероятность того, что фамилии окажутся записаны:

а) в алфавитном порядке;

б) в порядке, обратном алфавитному.

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае исходом является определенный порядок, в котором десять школьников заходят на экзамен. Поскольку фамилии у всех разные, общее число всех возможных порядков (перестановок) равно числу перестановок из 10 элементов.

Общее число исходов $N$ вычисляется по формуле для числа перестановок $P_n = n!$.

При $n=10$:

$N = P_{10} = 10! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 3,628,800$.

Таким образом, существует 3,628,800 различных способов, которыми школьники могут войти на экзамен.

а) в алфавитном порядке

Среди всех возможных перестановок фамилий существует только одна, в которой фамилии расположены строго в алфавитном порядке. Это и есть наш благоприятствующий исход.

Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$.

Вероятность того, что фамилии окажутся записаны в алфавитном порядке, равна:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{1}{10!} = \frac{1}{3,628,800}$.

Ответ: $\frac{1}{3,628,800}$

б) в порядке, обратном алфавитному

Аналогично предыдущему пункту, существует только одна уникальная последовательность, в которой фамилии расположены в порядке, обратном алфавитному.

Таким образом, число благоприятствующих исходов в этом случае также равно $m = 1$.

Вероятность того, что фамилии окажутся записаны в порядке, обратном алфавитному, равна:

$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{1}{10!} = \frac{1}{3,628,800}$.

Ответ: $\frac{1}{3,628,800}$