Номер 166, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

166 Сравните числа:

а) $C_5^2$ и $C_5^3$;

б) $C_7^2$ и $C_7^5$;

в)* $C_{21}^1$ и $C_{21}^{20}$;

г)* $C_{12}^5$ и $C_{12}^7$.

Для сравнения чисел, представляющих собой число сочетаний $C_n^k$, воспользуемся основным свойством симметричности биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Это свойство следует напрямую из формулы $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и означает, что количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ равно количеству способов не выбрать $k$ элементов (то есть выбрать остальные $n-k$ элементов).

а) Сравнить $C_5^2$ и $C_5^3$.

Используем свойство симметричности для $C_5^3$. В этом случае $n=5$ и $k=3$. Тогда $n-k = 5-3=2$.

Следовательно, $C_5^3 = C_5^{5-3} = C_5^2$.

Таким образом, числа равны. Для проверки можно их вычислить:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$.

Ответ: $C_5^2 = C_5^3$.

б) Сравнить $C_7^2$ и $C_7^5$.

Применим свойство симметричности для $C_7^5$. Здесь $n=7$ и $k=5$. Тогда $n-k = 7-5=2$.

Следовательно, $C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2$.

Числа равны. Проверим вычислением:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

$C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

Ответ: $C_7^2 = C_7^5$.

в)* Сравнить $C_{21}^1$ и $C_{21}^{20}$.

Применим свойство симметричности для $C_{21}^{20}$. Здесь $n=21$ и $k=20$. Тогда $n-k = 21-20=1$.

Следовательно, $C_{21}^{20} = C_{21}^{21-20} = C_{21}^1$.

Числа равны. Проверим вычислением:

$C_{21}^1 = \frac{21!}{1!(21-1)!} = \frac{21}{1} = 21$.

$C_{21}^{20} = \frac{21!}{20!(21-20)!} = \frac{21}{1} = 21$.

Ответ: $C_{21}^1 = C_{21}^{20}$.

г)* Сравнить $C_{12}^5$ и $C_{12}^7$.

Применим свойство симметричности для $C_{12}^7$. Здесь $n=12$ и $k=7$. Тогда $n-k = 12-7=5$.

Следовательно, $C_{12}^7 = C_{12}^{12-7} = C_{12}^5$.

Числа равны. Проверим вычислением:

$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$.

$C_{12}^7 = \frac{12!}{7!(12-7)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$.

Ответ: $C_{12}^5 = C_{12}^7$.