Номер 171, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

171 Сколькими способами можно отобрать стартовую шестёрку игроков в волей-больном матче, если всего в команде:

а) 10 игроков;

б)* 14 игроков?

а) 10 игроков;

Для решения данной задачи необходимо определить количество способов выбрать 6 игроков из 10 без учёта порядка. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Мы ищем число сочетаний из $n=10$ элементов по $k=6$.

Формула для расчёта числа сочетаний:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем в формулу наши значения:$C_{10}^6 = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6!4!}$

Для упрощения расчётов можно воспользоваться свойством $C_n^k = C_n^{n-k}$:$C_{10}^6 = C_{10}^{10-6} = C_{10}^4$

Теперь вычислим значение:$C_{10}^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократим дробь: $8$ в числителе сокращается с $4 \times 2$ в знаменателе, а $9$ делится на $3$.$C_{10}^4 = 10 \times 3 \times 7 = 210$

Ответ: 210 способов.

б)* 14 игроков?

В этом случае условия аналогичны, но общее число игроков составляет $n=14$, а выбрать нужно по-прежнему $k=6$. Снова используем формулу для числа сочетаний.

$C_{14}^6 = \frac{14!}{6!(14-6)!} = \frac{14!}{6!8!}$

Распишем факториалы для вычисления:$C_{14}^6 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Произведем сокращения для упрощения расчёта:

• $12$ в числителе сокращаем с $6 \times 2$ в знаменателе.
• $10$ в числителе делим на $5$ в знаменателе, получаем $2$.
• $9$ в числителе делим на $3$ в знаменателе, получаем $3$.

В результате получаем выражение:$\frac{14 \times 13 \times 11 \times 2 \times 3}{4}$

Продолжим сокращение: $14 \times 2 = 28$, и $28$ делится на $4$, что даёт $7$.В итоге остаётся:$7 \times 13 \times 11 \times 3$

Выполним умножение:$7 \times 13 = 91$$91 \times 11 = 1001$$1001 \times 3 = 3003$

Ответ: 3003 способа.